Fungsi Gubahan - Mencari Salah Satu Fungsi dalam Fungsi Gubahan

Assalamualaikum.

 Topik ini saya dah pernah muat naik 11 tahun yang lalu. Ketika itu, saya masih muda remaja. Belum masuk universiti. Jadi, sekarang saya akan menunjukkan kaedah baharu yang lebih mudah difahami untuk mencari salah satu fungsi dalam fungsi gubahan.

Baca juga: Fungsi Gubahan

Imbas Kembali: Fungsi Gubahan

1. Fungsi Gubahan ialah penggabungan dua fungsi seperti fungsi g dan f digabungkan menjadi fg atau gf.

2. Perlu diingatkan bahawa fungsi gubahan fg dan gf adalah tidak sama. 

3. Perhatikan bahawa apa-apa unsur yang berada dalam kurungan akan menggantikan tempat x dalam sesuatu fungsi. Unsur yang berada dalam kurungan ini dikenali sebagai objek.

Contoh: f(x) = x + 4  ... x ialah objek.

f(5) = 5 + 4 ... objek pada fungsi ini ialah 5; x = 5.

f(x - 2) = x - 2 + 4 ... objek pada fungsi ini ialah x - 2

Daripada dua contoh di atas, jelas bahawa objek akan dimasukkan pada kedudukan x.

Bagaimana jika terdapat lebih daripada satu x dalam fungsi? Ya, masukkan pada semua x yang wujud.

4. Kembali kepada Fungsi Gubahan. Oleh itu, fungsi yang berada di belakang akan menjadi objek kepada fungsi sebelumnya. Contoh: fg(x) = f[g(x)] ... g(x) ialah objek kepada fungsi f

Keadaan ini terpakai untuk semua jenis fungsi, tidak kira berapa banyak fungsi yang ada. 

Contoh: fgg(x) = fg[g(x)] ... g(x) ialah objek kepada fungsi g, dalam pada masa yang sama g(x) juga objek kepada f.

Berdasarkan dua contoh fungsi gubahan di atas, fg dan gf adalah tidak sama. Namun, proses menggubah fungsi ini tetap sama. Jangan risau.

Mencari Salah Satu Fungsi dalam Fungsi Gubahan

Fungsi Dalam (Objek)

1. Bagi fungsi gubahan yang menggunakan dua fungsi, kita akan namakan fungsi pertama sebagai fungsi luar dan fungsi kedua sebagai fungsi dalam atau fungsi objek.

2. Untuk mencari fungsi objek, proses penggantian sahaja yang perlu dilakukan. 

Contoh: 

3. Bagi soalan mencari fungsi objek, proses jalan kiranya adalah straightforward. Ganti, pindah, selesai.

Fungsi Luar (Di Hadapan)

1. Proses untuk mencari fungsi luar adalah sedikit panjang. Namun, jangan risau. Kita akan permudahkan pemahaman konsep ini.

2. Sekiranya anda merujuk buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 cetakan Pan Asia 2019 pada halaman 16, Contoh 10(b) merupakan jalan kira untuk mencari fungsi luar. 

3. Buku teks menggunakan kaedah "katakan" dan "jadi". Kaedah ini sebenarnya boleh diringkaskan dengan memasukkan fungsi songsang kepada fungsi objek. Ia bertujuan untuk menghapuskan fungsi objek dan meninggalkan hanya fungsi luar sendiri.

Rujuk: Sifat Fungsi Songsang Dalam Fungsi Gubahan

4. Proses "katakan" dan "jadi" tersebut sebenarnya ialah proses songsangan kepada fungsi objek. Jadi, sila lihat contoh:

Penyelesaian: 

Mudah bukan? Anda tidak perlu lagi memeningkan diri anda dengan kaedah "katakan" dan "jadi". 

Setelah penggantian fungsi songsang ke dalam fungsi gubahan, anda perlu kembangkan dan permudahkan apa yang patut. Jawapan akhir adalah fungsi bagi fungsi luar. 

Jika soalan memberi fg(x) dan meminta supaya mencari f(x), maka anda perlu mencari fungsi songsang bagi g(x) terlebih dahulu. Kemudian, jadikan fungsi songsang tersebut sebagai objek kepada fungsi gubahan fg(x).

Contoh Soalan Percubaan - SBP 2021

Soalan (a): Cari f^-1(x)

Soalan (b): Cari g(x)

Soalan (c): Cari gf^-1(2)

Bagi soalan (c), ada dua pilihan kaedah yang boleh digunakan. Kaedah pertama adalah seperti mana yang ditunjukkan di atas. Manakala kaedah kedua adalah dengan mencari terlebih dahulu fungsi gubahan gf^-1(x). Kemudian, gantikan nilai 2 pada fungsi di tempat x.

Penyelesaian kedua: 

Saya lebih suka kaedah pertama berbanding kedua kerana jawapan akan terus keluar. Boleh pilih mana yang anda suka. 

Ok, itu saja. Terima kasih!

Sifat Fungsi Songsang dalam Fungsi Gubahan (Inversed Function in Composite Form)

Assalamualaikum.

Dalam post ini, kita akan melihat ciri-ciri fungsi songsang dalam bentuk fungsi gubahan.

Let's go!

Dalam post saya yang terdahulu, saya telah sentuh sedikit mengenai sifat fungsi songsang apabila digubah bersama fungsi asalnya. Hasilnya, fungsi gubahan ini akan terhapus dan meninggalkan objek sendiri; objek = imej.

Rujuk:  Garis Pantulan Pada Fungsi

Soalan di atas merupakan contoh bagaimana untuk menjawab soalan yang berkaitan dengan fungsi songsang vs fungsi gubahan.

Soalan (1): Cari kh(x)

Bagi menyelesaikan soalan ini, anda hanya perlu menggunakan kemahiran menggubah fungsi iaitu dengan memasukkan fungsi h(x) ke dalam fungsi k. Dalam kes ini, fungsi h(x) ialah objek bagi fungsi k.

Penyelesaian: 

Daripada fungsi gubahan kh(x), dapat diperhatikan bahawa nilai objek (yang berada dalam kurungan) adalah sama seperti nilai imej (yang berada selepas simbol '=').

Ini merupakan pembuktian secara tidak langsung bahawa fungsi k dan h adalah fungsi songsang terhadap fungsi asal. 

Tapi... demi memperolehi markah dalam peperiksaan 🤣, kita perlu menunjukkan pembuktian yang dapat mengesahkan bahawa kedua-dua fungsi tersebut adalah salingan antara satu sama lain.

Soalan (1) tadi meminta pelajar untuk mencari fungsi gubahan kh(x), jadi untuk menentusahkan, anda perlu mencari fungsi gubahan hk(x). Sekiranya jawapan akhir anda mempunyai nilai yang sama dengan fungsi kh(x), maka itulah pembuktiannya. 

Penyelesaian: 

Saya skip langkah-langkah menyamakan penyebut, menukarkan operasi bahagi menjadi darab. Secara asasnya, langkah menggubah fungsi ini adalah sama sahaja seperti proses di atas tadi. 

Untuk mendapatkan markah yang terakhir, anda perlu mengarang ayat sedikit ya.

Jawapan akhir: Oleh itu, k(x) ialah fungsi songsang bagi h(x) dan sebaliknya.

Versi bahasa Inggeris: Hence, k(x) is an inversed function to h(x) and vice versa.

Kesimpulan: 

1. Fungsi songsang apabila digubah dengan fungsi asalnya akan menghapuskan fungsi. 

Contoh: gg^-1(x) = x

2. Fungsi yang terhapus akan meninggalkan objek sendirian dan objek ini adalah imej pada masa yang sama. 

Contoh: ff^-1(x+2) = x+2 

3. Bonus: Konsep ini boleh diaplikasikan dalam mencari salah satu fungsi dalam fungsi gubahan. Itu, kita cerita postingan seterusnya ok!

That's all! Semoga bermanfaat! 

Garis Pantulan pada Fungsi (Tingkatan 4, Bab 1)

 Assalamualaikum. 

Hari ini kita akan cuba melihat bagaimana garis pantulan pada satah Cartesan akan mempengaruhi hubungan sesuatu fungsi.

Perkara pertama yang perlu diingatkan, garis pantulan yang mempunyai persamaan y = x atau f(x) = x akan membentuk fungsi songsangan kepada sesuatu fungsi pada graf. 

Dalam gambar rajah di atas, fungsi f(x) = x merupakan garis yang melintasi satah Cartesan secara pepenjuru (diagonally). 

Mana-mana fungsi yang dipantulkan pada garis ini, akan membentuk fungsi songsang.

Rujuk kepada gambar rajah di atas. 

Apabila fungsi f(x) = √(2x-3) dipantulkan pada garis f(x) = x, fungsi g(x) akan terbentuk. Disebabkan oleh pembentukan fungsi g(x) terhasil melalui pantulan, maka g(x) ialah fungsi songsang kepada f(x).

Jika anda merujuk kepada fungsi g(x), maka fungsi yang terhasil daripada pantulan tersebut ialah f(x). Maka fungsi f(x) juga merupakan fungsi songsang kepada fungsi g(x).

Soalan (1):

Langkah 1: Fungsi g ialah pantulan kepada fungsi f(x) di bawah garis lurus f(x) = x, maka g(x) ialah fungsi songsang f(x).

Langkah 2: Songsangkan fungsi f(x) = √(2x-3) dengan menjadikan f^-1(x) = y sebagai perkara rumus.

Langkah 3: Pindah  f^-1 ke sebelah kanan rumus supaya x menjadi perkara rumus. x = f(y)

Langkah 4: Gantikan fungsi f yang diberikan dalam soalan dengan menjadikan y sebagai objek fungsi.

x = √(2y-3)

Langkah 5: Jadikan y perkara rumus (tinggalkan y sendirian) kerana f^-1(x) = y.

x² = 2y - 3

x² + 3 = 2y

x² + 3 = y

    2

Oleh itu, f^-1(x) =

Memandangkan g(x) = f^-1(x), oleh itu g(x) =

Soalan (2):

Mari kita imbas kembali apa makna domain dan julat.

Domain ialah semua nilai yang mungkin bagi x atau secara mudahnya, semua nilai bagi objek.

Julat ialah nilai yang mempunyai objek sahaja. 

Sekiranya kodomain (item bagi y) tidak mempunyai objek, maka ia tidak dikira sebagai julat.

Dalam menulis jawapan domain dan julat bagi fungsi yang diwakili dalam bentuk graf seperti soalan, caranya adalah dengan menggunakan simbol ketaksamaan (≤ x ≤ ).

Bagi graf yang dipantulkan bawah garis lurus f(x) = x, nilai yang dipantulkan juga adalah sama. Julat nilai x dalam soalan telah dinyatakan bahawa . 

Maka, nilai yang dipantulkan pada paksi-y juga sama iaitu 3/2 ≤ y ≤ 6.

Namun, perlu diingatkan bahawa soalan meminta supaya menentukan domain bagi fungsi g. Domain ialah semua nilai x, bukan nilai y ya!

Jadi, apa yang perlu dicari ialah nilai x yang bermula daripada 0 sehingga ?.

Cara untuk mencari nilai ? ialah dengan menggunakan koordinat atau nilai y = 6 ke dalam fungsi g.

Merujuk kepada graf soalan, dapat diperhatikan bahawa nilai x berada di sebelah kanan graf. Ini menandakan bahawa nilai x adalah satu nilai positif. Oleh, x = -3 ditolak.

Jawapan bagi domain fungsi g ialah 0 ≤ x ≤ 3.

Bagi julat, anda perlu melihat kepada nilai pada paksi-y. Jangan lupa, segala nilai yang dipantulkan bawah garis lurus f(x) = x adalah sama. Jadi, tanpa pengiraan:

Jawapan bagi julat fungsi g ialah 3/2 ≤ g(x) ≤ 6. Jangan lupa letakkan g(x) di tengah, bukannya x.

Soalan (3):

Soalan ini mempunyai 1 markah sahaja. Jadi, tiada pengiraan diperlukan. Hanya kefahaman tentang teori fungsi. 

Seperti mana yang kita tahu, pada soalan ini, fungsi g ialah songsangan kepada fungsi f dan sebaliknya.

Apabila fungsi asal digubah (digabungkan) bersama fungsi songsangnya, maka objek = imej. 

Andaikan nilai 1 digabungkan dengan -1. Jawapannya sifar bukan? 

Keadaan yang sama bagi f^-1f(x). Apa sahaja yang berada dalam kurungan (objek) akan menjadi jawapan (imej). 

Oleh itu, jawapan bagi gf(3) = 3.

Contoh-contoh lain: 

Itu sahaja. Semoga bermanfaat! Terima kasih 🧐