Garis Pantulan pada Fungsi (Tingkatan 4, Bab 1)

 Assalamualaikum. 

Hari ini kita akan cuba melihat bagaimana garis pantulan pada satah Cartesan akan mempengaruhi hubungan sesuatu fungsi.

Perkara pertama yang perlu diingatkan, garis pantulan yang mempunyai persamaan y = x atau f(x) = x akan membentuk fungsi songsangan kepada sesuatu fungsi pada graf. 

Dalam gambar rajah di atas, fungsi f(x) = x merupakan garis yang melintasi satah Cartesan secara pepenjuru (diagonally). 

Mana-mana fungsi yang dipantulkan pada garis ini, akan membentuk fungsi songsang.

Rujuk kepada gambar rajah di atas. 

Apabila fungsi f(x) = √(2x-3) dipantulkan pada garis f(x) = x, fungsi g(x) akan terbentuk. Disebabkan oleh pembentukan fungsi g(x) terhasil melalui pantulan, maka g(x) ialah fungsi songsang kepada f(x).

Jika anda merujuk kepada fungsi g(x), maka fungsi yang terhasil daripada pantulan tersebut ialah f(x). Maka fungsi f(x) juga merupakan fungsi songsang kepada fungsi g(x).

Soalan (1):

Langkah 1: Fungsi g ialah pantulan kepada fungsi f(x) di bawah garis lurus f(x) = x, maka g(x) ialah fungsi songsang f(x).

Langkah 2: Songsangkan fungsi f(x) = √(2x-3) dengan menjadikan f^-1(x) = y sebagai perkara rumus.

Langkah 3: Pindah  f^-1 ke sebelah kanan rumus supaya x menjadi perkara rumus. x = f(y)

Langkah 4: Gantikan fungsi f yang diberikan dalam soalan dengan menjadikan y sebagai objek fungsi.

x = √(2y-3)

Langkah 5: Jadikan y perkara rumus (tinggalkan y sendirian) kerana f^-1(x) = y.

x² = 2y - 3

x² + 3 = 2y

x² + 3 = y

    2

Oleh itu, f^-1(x) =

Memandangkan g(x) = f^-1(x), oleh itu g(x) =

Soalan (2):

Mari kita imbas kembali apa makna domain dan julat.

Domain ialah semua nilai yang mungkin bagi x atau secara mudahnya, semua nilai bagi objek.

Julat ialah nilai yang mempunyai objek sahaja. 

Sekiranya kodomain (item bagi y) tidak mempunyai objek, maka ia tidak dikira sebagai julat.

Dalam menulis jawapan domain dan julat bagi fungsi yang diwakili dalam bentuk graf seperti soalan, caranya adalah dengan menggunakan simbol ketaksamaan (≤ x ≤ ).

Bagi graf yang dipantulkan bawah garis lurus f(x) = x, nilai yang dipantulkan juga adalah sama. Julat nilai x dalam soalan telah dinyatakan bahawa . 

Maka, nilai yang dipantulkan pada paksi-y juga sama iaitu 3/2 ≤ y ≤ 6.

Namun, perlu diingatkan bahawa soalan meminta supaya menentukan domain bagi fungsi g. Domain ialah semua nilai x, bukan nilai y ya!

Jadi, apa yang perlu dicari ialah nilai x yang bermula daripada 0 sehingga ?.

Cara untuk mencari nilai ? ialah dengan menggunakan koordinat atau nilai y = 6 ke dalam fungsi g.

Merujuk kepada graf soalan, dapat diperhatikan bahawa nilai x berada di sebelah kanan graf. Ini menandakan bahawa nilai x adalah satu nilai positif. Oleh, x = -3 ditolak.

Jawapan bagi domain fungsi g ialah 0 ≤ x ≤ 3.

Bagi julat, anda perlu melihat kepada nilai pada paksi-y. Jangan lupa, segala nilai yang dipantulkan bawah garis lurus f(x) = x adalah sama. Jadi, tanpa pengiraan:

Jawapan bagi julat fungsi g ialah 3/2 ≤ g(x) ≤ 6. Jangan lupa letakkan g(x) di tengah, bukannya x.

Soalan (3):

Soalan ini mempunyai 1 markah sahaja. Jadi, tiada pengiraan diperlukan. Hanya kefahaman tentang teori fungsi. 

Seperti mana yang kita tahu, pada soalan ini, fungsi g ialah songsangan kepada fungsi f dan sebaliknya.

Apabila fungsi asal digubah (digabungkan) bersama fungsi songsangnya, maka objek = imej. 

Andaikan nilai 1 digabungkan dengan -1. Jawapannya sifar bukan? 

Keadaan yang sama bagi f^-1f(x). Apa sahaja yang berada dalam kurungan (objek) akan menjadi jawapan (imej). 

Oleh itu, jawapan bagi gf(3) = 3.

Contoh-contoh lain: 

Itu sahaja. Semoga bermanfaat! Terima kasih 🧐