Luas Sektor bagi Sebuah Bulatan

Assalamualaikum .. 

Maaf kerana agak lama tidak mengupdate blog. Agak sibuk belakangan ini. Tak apa, tak apa, kita teruskan kepada subtopik yang seterusnya dalam Bab 8 : Sukatan Membulat. 

Luas bagi segi tiga, ada rumusnya. Untuk mencari luas trapezium, ada caranya. Nak cari luas bulatan, ada kaedahnya. Haa, sama la juga untuk mencari luas bagi sebuah sektor bulatan. 

Jom lihat gambar rajah! 

Untuk mencari luas bagi sebuah sektor, rumus tersebut digunakan. Ada syaratnya. Haa, syaratnya ialah θ (theta) mestilah dalam unit radian. Tidak dapat tidak, mesti dalam unit radian, bukannya darjah. Jom kita lihat contoh .. 

Soalan mudah dahulu ... 

Perkara pertama - Perlu tahu, rumus mana patut digunakan. 

Kedua - Kumpul maklumat yang telah diberi. Rujuk kepada rumus. Rumus kata nak nilai theta, maka kena cari nilai theta. Rumus kata nak nilai jejari, jadi .. kena cari nilai jejari lah. 

Nak contoh lagi? Haa, sila lah rujuk buku teks masing-masing. Takpun, buku rujukan. Saya lebih suka buku teks daripada buku rujukan. 

Luas bagi semua segitiga, ada rumusnya. Dengan syarat, ada sudut kandung! Sudut kandung tu macam mana? Haa, sudut kandung tu sudut yang berada di antara dua garisan yang diberi nilainya. Kandung la, kandung. Kalau kandung, mesti berada di dalam kan? 

Untuk mencari luas segitiga : 

Dulu, kita belajar, nak cari luas segitiga, rumusnya ialah = 1/2 (darab) tapak (darab) tinggi. Begitu bukan? Haa, sebenarnya, rumus ini yang digunakan. Segitiga yang biasanya ditanya sebelum anda mengambil AddMath kebiasaannya tingginya bersifat sudut tegak (90 darjah). Cuba tekan kalkulator ...

sin 90 = 1. Jawapannya satu bukan? 1? Satu! Ya! Satu! Maka, sin 90° dibuang daripada rumus. Ok, tak nak cakap panjang-panjang. Jom terus kepada contoh : 

Ok, perkara pertama! Tulis rumus (tak nak buat pun ok). Luas SPQ = 1/2 r^2 sin θ . 

Kita perlu tahu nilai jejari dan theta (sudut dalam radian). Ok! Soalan dah bagi. 

r = 2.6, θ = 0.953

Yeahhh, itu dia! Mudah bukan? Tulis rumus, berdasarkan rumus, apa yang perlu kita ada. Kalau ada, ambil. Kalau tak ada, cari. Kalau tak jumpa? Cari lagi. Kalau tak jumpa jugak? Soalan kut yang salah. Haha. 

Ok, kita akan pergi ke soalan SPM. Soalan SPM kebanyakkannya menyuruh calon untuk mencari luas. SPM 2012 agak lain, kalau tak silap saya. Jom kita tengok. 

SPM 2010 : 

Lebih kurang la tu. Nak tengok gambar rajah sebenar, sila rujuk buku koleksi soalan. Haha. 

Ok, pertama! Kita kena fikir dulu masalah (pengenalpastian masalah). 

Masalah : Bagaimana ingin mencari luas kawasan berlorek? 

Selepas tahu masalah, cari tahu cara untuk selesaikannya. 

Kaedah : Luas sektor besar kena tolak luas sektor kecil. 

Selepas itu, tulis satu persamaan ringkas. 

Luas kawasan berlorek = Luas sektor OPQ - Luas sektor NRS 

Rumus luas sektor? Luas sektor = 1/2 r^2 θ . 

Oh, mudah bukan? Nak lagi contoh? Ok, jom!

SPM 2007 :

Seperti biasa, kenal pasti masalah, tulis rumus, dan cari! Ok, saya ubah sedikit soalan. Haha. Malas nak lorek. 

Ingat! Jika ingin tulis sin 1.85 menggunakan kalkulator, pastikan MODE kalkulator anda dalam Radian. Ada huruf R di skrin. Kalau tak gunakan dalam mode radian, jawapan anda dapat salah!

Ok, tamat sudah tajuk ke-8 Tingkatan 4. Jika ada soalan, sila tanya. Nanti kalau ada masa, saya akan postkan lagi soalan-soalan yang diajukan pada Kertas 2 Additional Mathematics. 

Soalan Kertas 2 memerlukan post yang khusus untuk dia. Haha. 

Ok! Semoga berjaya!

Perentas dan Segmen

Assalamualaikum .. 

Saya nak review memori semasa belajar Matematik Tingkatan 2. Cikgu saya tu memang garang kalau dalam kelas, perghhh! Memang tiap-tiap tahun budak-budak Form 2 akan takut. Haha. Saya tak ingat dia namakan stail dia denda orang tu nama apa. Kalau tak salah, tambah ... tolak .. dan apa entah, saya dah lupa. Haha. 

Bukan apa, saya cuma ingin mengajak anda ingat kembali tajuk-tajuk Matematik semasa Tingkatan 2. Bab 10 : Bulatan (Circle). Tajuk ini dimulakan dengan Properties of A Circle. Dalam subtopik ni, banyak istilah baru yang kita kenal. Saya tulis dalam bahasa Melayu ya? Istilah-istilah Inggeris nanti saya tulis di penghujung post. Antara istilah yang kita tahu ialah ukur lilit, diameter, jejari, perentas, segmen, sektor, major, minor dan lain-lain. Dan kita juga diperkenalkan dengan simbol pi = 22/7 atau 3.142.

Ok, subtopik kali ini, saya cuma ingin sentuh tentang perentas dan segmen sahaja. Jom kenali mereka. Tak kenal, maka tak cinta. Betul ke?

Garisan yang berwarna ungu merupakan jejari. Jika kedua-dua garisan ungu dan jingga digabungkan, maka kita akan memperoleh satu sektor [sektor minor]. Garisan merah merupakan perentas. Jika merah + oren, maka itulah kita panggil tembereng! Sudah faham? Gambar rajah berwarna-warni lagi, letih saya membuatnya. Haha.

Jadi, untuk mencari perimeter bagi segmen bulatan ialah :
Perimeter = Panjang tembereng AB(merah) + Panjang lengkok APB(oren)
Rumusnya :

Rumus ini digunakan apabila melibatkan perentas. Perentas sahaja. Saya ingatkan sekali lagi, sila gunakan kalkulator anda dalam mode Radian. Sila rujuk post sebelumnya. Macam mana hendak membezakan radian dan darjah? Mudah! Radian kebiasaannya dalam sebutan sa dan selepas digit pertama, terus ada perpuluhan. Contoh : 1.152 rad, 3.142 rad, 2.3 rad dll.

Ok, kita teruskan kepada contoh. Saya ambil soalan SPM 2011. 

Rajah menunjukkan sektor POQ bagi sebuah bulatan berpusat di O.

Diberi bahawa OR = 8 cm, dan OP = 10 cm. Cari, 

(Guna pi = 3.142)

a) nilai θ , dalam radian.

b) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna.

Cuba cari dahulu jawapannya, kemudian baru semak. :) 

Kaitkan segala ilmu trigonometri yang telah anda pelajari. Jika anda mendapat jawapannya, anda hebat! Jika tidak, cuba lagi. Anda mencuba itu bermakna anda juga hebat! Bagi jawapan a, jika anda menggunakan mode Radian, jawapan akan terus keluar. Jika anda menggunakan mode degrees, maka sila tukarkannya.

Saya agak sibuk kebelakangan ini. Jadi, tidak banyak contoh saya dapat sediakan. Selepas buka sekolah, saya akan mulakan tajuk Linear Law  yang telah saya tangguh. Jika ada soalan, sila tanya :) 

Selepas ini, kita akan mencari luas pula ya ..? :)

Istilah-istilah :

1. Ukur lilit - circumference

2. Jejari - Radius

3. Tembereng - Segmen

4. Perentas - Chord

5. Sektor - Sector

Bab 8 : Sukatan Membulat

Assalamualaikum .. 

Sukatan Membulat atau dalam Inggerisnya Circular Measure merupakan bab kelapan bagi matapelajaran Matematik Tambahan Tingkatan 4. Tajuk ini merupakan tajuk famous dan selalu keluar dalam bahagian B Kertas 2. Bagi Kertas 1 pula, kebiasaannya satu soalan akan ditanya. Setakat tahun 2005 - 2012, hanya satu soalan ditanya dalam Kertas 1, tak pernah lebih dan tak pernah kurang. 

Subtopik bagi bab ini ada 3. Bagi saya, tajuk ini lebih realistik dan berpijak atas bumi jika dibandingkan dengan tajuk Bulatan yang kita pelajari dalam subjek Matematik. Kenapa? Saya mengatakan sebegitu rupa kerana pelajar yang mempelajari bab ini akan menggunakan unit radian bukannya darjah. Radian yang paling kita kenali ialah pi (dibaca 'pai'). Satu pi bersamaan dengan 180 darjah. 

Untuk lebih mengenali apa itu pi, sila terjah laman Wikipedia. Saya betul-betul menyukai laman Wikipedia. Pelbagai maklumat dan ilmu yang dapat kita peroleh jika digunakan sebaik mungkin. Tak nak cakap panjang, kita teruskan bab 8 bagi tingkatan 4. 

Radian : 

Apa yang saya tahu, pi = 3.1415926... telah diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes juga turut menyumbang, dan juga ahli-ahli Matematik terkemuka yang lain. 

Maka, formula yang dapat diperoleh ialah : 

Nak guna kalkulator tak? Jom saya ajar! 

It's calculator time .......! Yosh! Pastikan kalkulator model fx-570MS

Perhatikan pada skrin kalkulator, ada tertulis huruf D pada bahagian atas. D mewakili degrees. Ini bermakna, setiap pengiraan yang melibatkan sudut akan keluar jawapannya dalam darjah, bukan dalam radian. Faham? D diprogramkan secara automatik sekiranya anda baru menggunakan kalkulator. 

Untuk menukar radian kepada darjah (radians to degrees) :

1. Pastikan ada huruf D pada bahagian atas skrin. 

2. Masukkan nilai radian yang ingin ditukar, contohnya 1.4 radian. Hanya masukkan nilai 1.4 sahaja. 

3. Tekan SHIFT, kemudian Ans. 

4. Pada skrin kalkulator, akan keluar pilihan 1 = D, 2 = R 3 = G. Tekan 2 untuk memasukkan unit bagi radian. 

5. Selepas anda menekan 2, pada skrin anda, akan keluar huruf r. [ 1.4r ]

6. Tekan = untuk mendapatkan nilai dalam darjah. [80.21°] 

Mudah bukan? Jika anda ingin gunakan formula juga boleh. Seterusnya,

Untuk menukar darjah kepada radian (degrees to radian) :

1. Tekan MODE MODE MODE MODE [4 kali]

2. Pada skrin, ada tiga pilihan, 1 = Deg, 2 = Rad, 3 = Gra. Tekan 2 untuk memilih radian.

3. Pada bahagian atas skrin, huruf D telah bertukar menjadi R. Ini bermakna, pengiraan yang melibatkan sudut akan keluar dalam bentuk radian.

4. Masukkan nilai darjah, [80.21] tanpa memasukkan simbol darjah. Jangan tekan [° ' ''] untuk unit darjah.  

5. Tekan SHIFT, kemudian Ans. 

6. Sama seperti tadi, cuma tekan 1 untuk memilih unit darjah. [80.21°]

7. Tekan = untuk mendapatkan nilai dalam radian. [1.399 rad/1.4 rad]

Ok, dah faham? Jika tak faham, sila bertanya. :) Malu bertanya, sesat jalan. Hehe. 

Opss, jangan lupa satu hal. Selepas sudah menjawab tajuk ini, sila resetkan kalkulator anda ke dalam degrees. Caranya :

1. Tekan SHIFT MODE 

2. Tekan 3 [All]

3. Done! 

Panjang Lengkok bagi Bulatan : 

Rumusnya ialah  : 

dengan s ialah panjang lengkok,
r ialah panjang jejari atau radius,

dan θ (dibaca theta) ialah nilat sudut yang tercangkum dalam unit radian.

Tajuk ini sememangnya banyak gambar rajah. Harap anda menyukai gambar rajah ini. Haha. 

Contoh : 

Contoh seterusnya : 

Nampak kan cara untuk menyelesaikannya? Gunakan rumus s = rθ kerana ia melibatkan panjang bagi lengkok. Jawapan bagi b yang kita peroleh adalah dalam unit radian. Kenapa? Ini disebabkan kita telah menggunakan rumus s = rθ iaitu nilai theta [θ] mestilah dalam radian. Wajib! 

Jom terus lagi kepada contoh : 

Rajah menunjukkan sebuah sektor OCM dengan jejari 12 cm dan panjang lengkok CB = 4.8 cm,

Cari,
a) ∠COB dalam darjah,

b) perimeter bagi kawasan berlorek.

Untuk selesaikan satu-satu masalah, kita perlu kenal pasti dahulu masalah yang kita hadapi. Masalah kita sekarang,  kita ingin mencari nilai bagi sudut COB. Ok, sekarang, cuba hubungkaitkan sudut COB dengan maklumat-maklumat yang telah kita peroleh. Kita telahpun ada nilai jejari iaitu 12 cm dan juga panjang lengkok = 4.8 cm. Ini menepati rumus s = rθ! Maka, terus selesaikan masalah yang kita hadapi. Fikir secara mendalam bagi setiap masalah.

Kumpulkan dahulu setiap maklumat, seterusnya hubungkaitkan setiap satu daripada mereka. Yosh! Anda memang seorang yang pandai! Jom teruskan soalan b.
Untuk mencari perimeter, tulis dahulu titik yang perlu dicari. Jika anda bermula di A, maka anda akan kembali semula kepada A. Dan begitulah sebaliknya. Contohnya :

Perimeter kawasan berlorek = AB + BC + CA 

Nampak tak? Mula dengan A, akhir dengan A. Jika ingin mulakan dengan B juga boleh. 

Perimeter kawasan berlorek = BC + CA + AB 

Mudah bukan? Tulis dahulu persamaan agar anda tidak mengambil nilai yang salah. Jadi, apa yang kita perlukan sekarang ialah AB, BC, dan CA.

Macam mana hendak mencari AB? Cuba ingat kembali, panjang jejari bagi suatu bulatan adalah sama sokmo(selalu). Maka, OC = OB. OB = OA + AB. AB = OB - OA. Ok, kita teruskan kepada penyelesaian. 

Ingat balik tajuk Trigonometri yang telah kita pelajari semasa Tingkatan 3 dahulu. Cikgu junior saya buat akronim macam ni,
STS KSH TTS = Saya Tak Hensem, Kalau Saya Hensem, Tentu Timah Syok!
Hahaha. Terpulanglah. Masing-masing punya idea.
T untuk Tentang, S untuk Sebelah, H untuk Hipotenus. 

Ok, saya akan sambung lagi tajuk ini. Tajuk ini pendek, tapi gambar rajahnya terlalu banyak. Jadi, saya terpaksa pecahkan juga kepada 3 bahagian. Selepas ini, kita akan mencari perimeter bagi segmen. Macam mana nak cari tembereng dll. 

Istilah : 

Jejari - Radius

Lengkok - Arc

Sector - Sektor

Tembereng - Chord

Segmen - Segment