Sifat Fungsi Songsang dalam Fungsi Gubahan (Inversed Function in Composite Form)

Assalamualaikum.

Dalam post ini, kita akan melihat ciri-ciri fungsi songsang dalam bentuk fungsi gubahan.

Let's go!

Dalam post saya yang terdahulu, saya telah sentuh sedikit mengenai sifat fungsi songsang apabila digubah bersama fungsi asalnya. Hasilnya, fungsi gubahan ini akan terhapus dan meninggalkan objek sendiri; objek = imej.

Rujuk:  Garis Pantulan Pada Fungsi

Soalan di atas merupakan contoh bagaimana untuk menjawab soalan yang berkaitan dengan fungsi songsang vs fungsi gubahan.

Soalan (1): Cari kh(x)

Bagi menyelesaikan soalan ini, anda hanya perlu menggunakan kemahiran menggubah fungsi iaitu dengan memasukkan fungsi h(x) ke dalam fungsi k. Dalam kes ini, fungsi h(x) ialah objek bagi fungsi k.

Penyelesaian: 

Daripada fungsi gubahan kh(x), dapat diperhatikan bahawa nilai objek (yang berada dalam kurungan) adalah sama seperti nilai imej (yang berada selepas simbol '=').

Ini merupakan pembuktian secara tidak langsung bahawa fungsi k dan h adalah fungsi songsang terhadap fungsi asal. 

Tapi... demi memperolehi markah dalam peperiksaan 🤣, kita perlu menunjukkan pembuktian yang dapat mengesahkan bahawa kedua-dua fungsi tersebut adalah salingan antara satu sama lain.

Soalan (1) tadi meminta pelajar untuk mencari fungsi gubahan kh(x), jadi untuk menentusahkan, anda perlu mencari fungsi gubahan hk(x). Sekiranya jawapan akhir anda mempunyai nilai yang sama dengan fungsi kh(x), maka itulah pembuktiannya. 

Penyelesaian: 

Saya skip langkah-langkah menyamakan penyebut, menukarkan operasi bahagi menjadi darab. Secara asasnya, langkah menggubah fungsi ini adalah sama sahaja seperti proses di atas tadi. 

Untuk mendapatkan markah yang terakhir, anda perlu mengarang ayat sedikit ya.

Jawapan akhir: Oleh itu, k(x) ialah fungsi songsang bagi h(x) dan sebaliknya.

Versi bahasa Inggeris: Hence, k(x) is an inversed function to h(x) and vice versa.

Kesimpulan: 

1. Fungsi songsang apabila digubah dengan fungsi asalnya akan menghapuskan fungsi. 

Contoh: gg^-1(x) = x

2. Fungsi yang terhapus akan meninggalkan objek sendirian dan objek ini adalah imej pada masa yang sama. 

Contoh: ff^-1(x+2) = x+2 

3. Bonus: Konsep ini boleh diaplikasikan dalam mencari salah satu fungsi dalam fungsi gubahan. Itu, kita cerita postingan seterusnya ok!

That's all! Semoga bermanfaat! 

Surd - Hukum Asas dan Teknik Mempermudah

 Assalamualaikum dan salam sejahtera.

Surd merupakan subtopik tambahan dalam Bab 4 yang mempunyai perkaitan dengan Indeks dan Logaritma. Apa yang menarik dalam bab ini ialah jalan pengiraan surd *seolah-olah* dilakukan hanya separuh jalan. Kenapa? Kerana penggunaan surd adalah bertujuan untuk memudahkan jalan pengiraan secara congak tanpa melibatkan kalkulator. 

Dalam mempelajari bab ini, pelajar perlu menyiapkan diri dengan hafalan sifir dan penguasaan teknik pemfaktoran yang bagus. Kemahiran ini akan membantu pelajar dalam menyelesaikan persamaan yang mengandungi sebutan surd.

*insert photo*

1.1 Apa itu Surd? 

Surd boleh ditakrifkan sebagai nombor dalam bentuk punca kuasa. Dalam buku teks Matematik Tambahan Ting 4 (Pan Asia Publications, 2019), terminologi surd juga ditulis dengan "simbol radikal". 

Punca kuasa bagi surd pula bermula daripada dua (punca kuasa dua) dan pelajar peringkat SPM hanya akan mempelajari surd berkuasa dua sahaja. Jadi, jangan risau!

1.2 Kenapa Surd?

Surd merupakan nombor perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak berulang. Bayangkan sekiranya anda perlu membuat jalan kira yang melibatkan nombor perpuluhan yang terlalu banyak, pasti ini akan menyukarkan keadaan bukan? Maka, di sinilah hukum surd memainkan peranan iaitu untuk memudahkan jalan pengiraan. 

1.3 Kenali Surd

1.4 Hukum Asas Surd

Hukum surd sebenarnya tidak jauh berbeza dengan operasi darab dan bahagi yang kita pelajari. Apa sering menjadi igauan pelajar hanya simbol radikal di hadapan nombor sahaja. 

Hukum 1: Darabkan nombor a dengan nombor b, kemudian satukan simbol radikal.

Hukum 2: Bahagikan nombor a dengan nombor b - jadikan dalam bentuk pecahan, kemudian satukan simbol radikal. 

Mudah bukan? Pada soalan (h), ungkapan surd boleh dipermudah melalui dua kaedah. 

1. Dimulakan dengan proses pendaraban 5 dan 6 kemudian dibahagi 3, 

2. Membahagikan 6 kepada 3 (memandangkan 6 boleh dibahagi tepat dengan 3), kemudian diselesaikan dengan mendarab 5.

Nota tambahan: Bagi jawapan soalan (c) dan (g), √9 dan √4 tidak memenuhi takrif surd kerana boleh dipermudah kepada bentuk nombor bulat. 

1.5 Aplikasi Hukum Surd untuk Mempermudah Ungkapan

Dalam subtopik ini, pelajar perlu menggunakan hukum asas surd bagi menjadikan surd dalam bentuk tunggal. Tujuannya adalah untuk memudahkan proses pengiraan secara congak.

Tadi kita telah belajar cara untuk menggabungkan surd, namun bagi memudahkan ungkapan, kita perlu memisahkan surd dalam bentuk tunggal kepada beberapa surd. 

Di sinilah kemahiran pemfaktoran dan hafalan sifir akan membantu anda! 

Penerangan: 

1) Dalam contoh (d), √32 telah dicerakinkan kepada √8 x √4

Memandangkan √8 masih boleh dicerakinkan bawah sifir dua, maka kita perlu cerakinkan sehingga selesai. Oleh itu, √8 = √4 x √2

2) Bagi contoh (g), pelajar perlu pastikan ungkapan surd ditulis dalam bentuk a√b iaitu dengan membelakangkan nombor surd kerana a√b ≠ √ba

Setakat itu sahaja. Post seterusnya akan melibatkan proses penambahan dan penolakan surd. 

Persamaan Indeks dan Logaritma

Assalamualaikum ..

Adakah Indeks dan Log mempunyai persamaan? Bukan begitu maksud 'persamaan' pada tajuk kita kali. Tapi, maksud persamaan ialah dua ungkapan dihubungkan dengan tanda sama dengan ( = ). Gitu dongg. 

Contoh ungkapan : x + 4, 6, y - 7. Ini dipanggil ungkapan. Jika persamaan pula : x + 4 = 5.

Ini baru dipanggil satu persamaan. 

Ok, soalan persamaan Indeks dan Logaritma merupakan soalan yang agak femes dalam kertas 1 Matematik Tambahan SPM. Pernah satu tahun, soalan log muncul dalam Kertas 2 - 2011. 

Apa yang diperlukan seorang pelajar semasa mengendalikan masalah penyelesaian persamaan ini ialah :

1. Kemahiran pemfaktoran

2. Mahir dengan hukum indeks/logaritma

3. Mahir menukarkan dari indeks kepada log dan sebaliknya. 

4. Penukaran asas bagi logaritma.

Kemahiran pemfaktoran biasanya diperlukan semasa menjawab soalan persamaan indeks. Kita teruskan kepada contoh : 

Berikut merupakan langkah-langkah penyelesaian : 

Kalau mengikut pengalaman saya, ramai pelajar pening dengan proses pemfaktoran. Pening? Jika pening, gunakan cara penggantian. Biarkan setiap nombor yang ingin difaktorkan menjadi algebra. Saya ambil contoh yang sama. 

Biar lambat asal selamat. Tapi, kalau dah biasa, mesti cepat! Lepas selesai proses pemfaktoran, sila gantikan semula algebra-algebra tersebut dengan nombor asal.

Asas mestilah sama, barulah proses penyelesaian boleh dilakukan. 

Contoh lagi : 

Nota : Apabila dua nombor mempunyai nilai indeks yang sama, dan dihubungkan dengan operasi darab atau bahagi, maka mereka dapat digabungkan. Sebagai contoh 4 dan 9. Indeks mereka ialah x, dan mereka dihubungkan dengan operasi darab. 

Apabila sebelah kiri dan sebelah kanan persamaan mempunyai asas yang sama dan kiri ada satu asas, kanan pun ada satu asas, maka buang asas tersebut dan hanya ambil indeks sahaja. 

Jika nilai indeks sama, dan kiri ada satu asas dan kanan pun satu asas ... maka buang indeks, ambil asas sahaja. 

Contohnya : 

Indeks dah sama, buang jeee .. Teknik sama, kita panggil kaedah perbandingan. Kita banding-banding laa sebelah kanan dan sebelah kiri. Kalau sama, betul la tu. Buang yang sama. 

Penyelesaian persamaan logaritma akan disambung lain kali. Kesuntukan masa. Bukan mudah nak update blog. Pheww. 

Tak faham, sila tanya. 

Revision : Contoh untuk Fungsi Gubahan

Assalamualaikum .. 

Berjumpa lagi kita pada segmen seterusnya. Contoh bagi soalan ini di-update atas permintaan uknown yang telah komen di post Fungsi Gubahan. Beliau inginkan contoh dalam bentuk pecahan. Pecahan sekolah rendah memang mudah, tapi apabila melibatkan algebra, menjadi agak susah bukan? Nevermind, hendak seribu daya, tak hendak seribu dalih. 

Jika fungsi 'di dalam' dalam bentuk biasa : 

Contoh soalan : 

Ingat kembali langkah-langkah yang perlu dilakukan. Apabila mencari fungsi 'di luar', maka teknik penggantian perlu diaplikasikan. Gantikan x dalam fungsi gubahan!

Apabila dapat jawapan, gantikan y dengan x semula. Apabila dalam kurungan y, maka sebutan fungsi juga dalam sebutan y. Jika dalam kurungan x, maka sebutannya juga dalam sebutan x.

Contoh yang lagi kompleks, bagi kes kedua-dua fungsi asal dalam bentuk pecahan : 

Langkah sama seperti sebelum ini. Perhatikan sebaiknya. 

Sebenarnya, tak menjadi masalah bagaimanapun rupa sesuatu fungsi itu. Asalkan, kita mengikut setiap satu langkah untuk mencari fungsi 'di luar'. 

Apa yang penting, kita memindah dan menggantikan sebutan fungsi yang betul ke tempat yang sepatutnya. 

Semoga kalian semua dipermudah segala urusan. 

Indeks dan Logaritma

Assalamualaikum .. 

Sekian lama tidak meng-update blog. Buzy, buzy sungguh. Exam semakin mendatang. Tidak sampai sebulan lagi. Ok, lupakan kisah ini. Teruskan dengan kisah cinta antara Indeks dan Logaritma yang terjalin sejak sekian lama setelah John Napier mengasaskan Logaritma. 

Indeks pada pemahaman umum : Mendarabkan nombor atau algebra yang sama banyak banyak banyak kali. Kalau sekali pun dah jadi. Hehe. 

Sebarang nombor atau algebra yang sama jika didarabkan, boleh ditulis dalam bentuk tatatanda indeks. It looks something like this ... Jen jen jen .. 

Nota : Makhluk-makhluk yang berwarna merah itu dipanggil indeks.

Nombor 4 didarabkan dengan nombor 4 sebanyak lima kali, maka tatatanda indeksnya ialah 4^5 (4 kuasa 5). 4, b, dan (m + n) dikenali sebagai asas.

Sudah faham mungkin ...? Bagus. 

Indeks juga boleh menjadi suatu pecahan. Ia dinamakan sebagai Indeks Pecahan. Nilai pengangka (sebelah atas) akan menjadi kuasa, manakala nilai penyebut (sebelah bawah) akan menjadi punca kuasa.

Nota : Hijau untuk pengangka (kuasa), merah untuk penyebut (punca kuasa).

Kita bergerak ke destinasi seterusnya ... Hukum Indeks : 

Syarat bagi hukum pertama dan kedua : Nilai asas mestilah sama, barulah operasi penambahan dan penolakan indeks dapat dilakukan. 

Hukum-hukum ini sangat penting apabila ingin meringkaskan sesuatu persamaan indeks. Contohnya :  

Berwarna lagi tu. Hampir kesemua hukum telah diaplikasikan dalam persamaan ini. Perhatikan bagaimana setiap berjalan dalam persamaan tersebut. Cuba kaji baik-baik. Nanti fahamla tuu. Yang bahagi tukar jadi tolak, yang darab tukar jadi tambah. Simple bukan? Syaratnya, asas mestilah sama.

Habis tajuk Indeks, buat masa sekarang. Nanti kita sambung lagi. Kita teruskan dengan Logaritma. 

Logaritma pada asasnya ialah : Proses pembalikan indeks - dengan cara menukarkan asas indeks menjadi asas logaritma. Kita tengok contoh yee .. 

 Nota : Bagi persamaan indeks - merah itu asas, biru itu nilai indeks, pink itu jawapan kepada indeks. 

            Bagi persamaan log - merah itu tetap asas, biru itu jawapan, pink menjadi nilai log. 

Nampak perbezaannya? Apa yang penting, bukan kerjasama .. tapi pastikan asas indeks dan asas log itu sama! Kalau tak sama, salah laa tu. Haha. Beres!

Hukum indeks - lebih kurang jee dengan indeks punya hukum.

 Syarat untuk persamaan pertama dan kedua : Asas mestilah SAMA ! Warna merah itu asas yee. 

Darab jadi tambah, bahagi jadi tolak. Tambah jadi darab, tolak jadi bahagi. Akaskan sahaja.
Kalau kuasa? Pindahkan kuasa pergi hadapan log. 

Pesanan ikhlas : Nilai log mestilah sentiasa positif. Log tidak menerima sebarang nombor negatif untuk berdamping dengannya. Jadi, sentiasa positifkan minda anda!

Tambahan : Log juga tidak menerima sifar. Tidak tertakrif jika nilai log ialah sifar. 

Jika asas sama dengan nilai log .............? 

Jawapan jadi sama dengan satu laaa! Mudah bukan ..? 

Jom kita ringkaskan persamaan logaritma : 

Tambah jadi darab, tolak jadi bahagi. Ini bagi soalan permudahkan. Kalau soalan persusahkan? Haha. Darab jadi tambah, bahagi jadi darab laaa. Terbalikkannya. Asas sama dengan nilai, jadikan sebagai 1.

Setakat ini sahaja untuk post kali ini. Soalan persamaan akan disambung lain kali. InsyaAllah. 

Semoga dipermudah segala urusan mereka yang membaca blog ini. :)

Bab 1 : Fungsi

Pengenalan

Pengenalan kepada Hubungan :

Suatu "hubungan" hanyalah satu ikatan atau perhubungan antara set A dan B. Hubungan boleh diwakili dengan pelbagai cara, iaitu :

1. gambar rajah anak panah
2. pasangan bertertib
3. graf

Contoh gambar rajah anak panah :

Set A iaitu {1,2,3,4} dipanggil domain. Manakala set B iaitu {1,4,9,16} dipanggil kodomain. 

Semua item dalam set A ialah objek, semua item dalam set B pula ialah imej. Imej tidak akan terbentuk tanpa imej. Lebih kurang Sains juga ya?

Pelajar wajib tahu, jika domain dan kodomain, pelajar wajib menulisnya dalam bentuk set, iaitu { ... }. Tetapi, berlainan situasi jika objek dan imej, tanda { ... } tidak diperlukan.

Julat pula ialah setiap imej yang mempunyai objek dan julat juga ditulis dalam bentuk set. Bagi kes ini, semua imej ialah julat kerana semuanya mempunyai objek. Maka julatnya ialah {1,4,9,16}. 

Fungsi : 

Apakah fungsi? Fungsi boleh dikatakan suatu hubungan yang 'mempunyai sifat yang baik' (well-behaved relations). Kenapa? Kerana fungsi hanya melalui satu jalan sahaja. Dalam kata lain, hubungan satu-kepada-satu dan banyak-kepada-satu ialah fungsi. Jom kita umpamakannya sebagai jalan yang lurus dan tanpa bengkak-bengkok. 

Perlu diingatkan bahawa, setiap fungsi itu merupakan hubungan tetapi hubungan itu bukannya fungsi. Hal ini kerana, hubungan satu-kepada-banyak dan banyak-kepada-banyak bukanlah suatu fungsi. Ingat, fungsi hanya mempunyai satu kodomain sahaja, tidak lebih dan tidak kurang. Belajarlah untuk setia :)

Set A kepada Set B dalam gambar rajah di atas merupakan suatu fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej. 

Fungsi boleh ditulis dalam 2 bentuk : 

1. f : x ↦ y 
2. f(x) = y

Bagi set A dan set B, fungsinya ialah f(x) = x^2 atau f : x ↦ x^2. ^ dibaca sebagai 'kuasa'. 

Setakat ini sahaja, bagi pengenalan kepada bab 1 Tingkatan 4. Semoga anda semua faham apa yang ingin disampaikan. Proses pengiraan untuk tajuk ini akan bermula pada post yang seterusnya.

Kuatkan semangat, tingkatkan keazaman. Jangan kata Add Math susah!