Perentas dan Segmen

Assalamualaikum .. 

Saya nak review memori semasa belajar Matematik Tingkatan 2. Cikgu saya tu memang garang kalau dalam kelas, perghhh! Memang tiap-tiap tahun budak-budak Form 2 akan takut. Haha. Saya tak ingat dia namakan stail dia denda orang tu nama apa. Kalau tak salah, tambah ... tolak .. dan apa entah, saya dah lupa. Haha. 

Bukan apa, saya cuma ingin mengajak anda ingat kembali tajuk-tajuk Matematik semasa Tingkatan 2. Bab 10 : Bulatan (Circle). Tajuk ini dimulakan dengan Properties of A Circle. Dalam subtopik ni, banyak istilah baru yang kita kenal. Saya tulis dalam bahasa Melayu ya? Istilah-istilah Inggeris nanti saya tulis di penghujung post. Antara istilah yang kita tahu ialah ukur lilit, diameter, jejari, perentas, segmen, sektor, major, minor dan lain-lain. Dan kita juga diperkenalkan dengan simbol pi = 22/7 atau 3.142.

Ok, subtopik kali ini, saya cuma ingin sentuh tentang perentas dan segmen sahaja. Jom kenali mereka. Tak kenal, maka tak cinta. Betul ke?

Garisan yang berwarna ungu merupakan jejari. Jika kedua-dua garisan ungu dan jingga digabungkan, maka kita akan memperoleh satu sektor [sektor minor]. Garisan merah merupakan perentas. Jika merah + oren, maka itulah kita panggil tembereng! Sudah faham? Gambar rajah berwarna-warni lagi, letih saya membuatnya. Haha.

Jadi, untuk mencari perimeter bagi segmen bulatan ialah :
Perimeter = Panjang tembereng AB(merah) + Panjang lengkok APB(oren)
Rumusnya :

Rumus ini digunakan apabila melibatkan perentas. Perentas sahaja. Saya ingatkan sekali lagi, sila gunakan kalkulator anda dalam mode Radian. Sila rujuk post sebelumnya. Macam mana hendak membezakan radian dan darjah? Mudah! Radian kebiasaannya dalam sebutan sa dan selepas digit pertama, terus ada perpuluhan. Contoh : 1.152 rad, 3.142 rad, 2.3 rad dll.

Ok, kita teruskan kepada contoh. Saya ambil soalan SPM 2011. 

Rajah menunjukkan sektor POQ bagi sebuah bulatan berpusat di O.

Diberi bahawa OR = 8 cm, dan OP = 10 cm. Cari, 

(Guna pi = 3.142)

a) nilai θ , dalam radian.

b) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna.

Cuba cari dahulu jawapannya, kemudian baru semak. :) 

Kaitkan segala ilmu trigonometri yang telah anda pelajari. Jika anda mendapat jawapannya, anda hebat! Jika tidak, cuba lagi. Anda mencuba itu bermakna anda juga hebat! Bagi jawapan a, jika anda menggunakan mode Radian, jawapan akan terus keluar. Jika anda menggunakan mode degrees, maka sila tukarkannya.

Saya agak sibuk kebelakangan ini. Jadi, tidak banyak contoh saya dapat sediakan. Selepas buka sekolah, saya akan mulakan tajuk Linear Law  yang telah saya tangguh. Jika ada soalan, sila tanya :) 

Selepas ini, kita akan mencari luas pula ya ..? :)

Istilah-istilah :

1. Ukur lilit - circumference

2. Jejari - Radius

3. Tembereng - Segmen

4. Perentas - Chord

5. Sektor - Sector

Bab 8 : Sukatan Membulat

Assalamualaikum .. 

Sukatan Membulat atau dalam Inggerisnya Circular Measure merupakan bab kelapan bagi matapelajaran Matematik Tambahan Tingkatan 4. Tajuk ini merupakan tajuk famous dan selalu keluar dalam bahagian B Kertas 2. Bagi Kertas 1 pula, kebiasaannya satu soalan akan ditanya. Setakat tahun 2005 - 2012, hanya satu soalan ditanya dalam Kertas 1, tak pernah lebih dan tak pernah kurang. 

Subtopik bagi bab ini ada 3. Bagi saya, tajuk ini lebih realistik dan berpijak atas bumi jika dibandingkan dengan tajuk Bulatan yang kita pelajari dalam subjek Matematik. Kenapa? Saya mengatakan sebegitu rupa kerana pelajar yang mempelajari bab ini akan menggunakan unit radian bukannya darjah. Radian yang paling kita kenali ialah pi (dibaca 'pai'). Satu pi bersamaan dengan 180 darjah. 

Untuk lebih mengenali apa itu pi, sila terjah laman Wikipedia. Saya betul-betul menyukai laman Wikipedia. Pelbagai maklumat dan ilmu yang dapat kita peroleh jika digunakan sebaik mungkin. Tak nak cakap panjang, kita teruskan bab 8 bagi tingkatan 4. 

Radian : 

Apa yang saya tahu, pi = 3.1415926... telah diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes juga turut menyumbang, dan juga ahli-ahli Matematik terkemuka yang lain. 

Maka, formula yang dapat diperoleh ialah : 

Nak guna kalkulator tak? Jom saya ajar! 

It's calculator time .......! Yosh! Pastikan kalkulator model fx-570MS

Perhatikan pada skrin kalkulator, ada tertulis huruf D pada bahagian atas. D mewakili degrees. Ini bermakna, setiap pengiraan yang melibatkan sudut akan keluar jawapannya dalam darjah, bukan dalam radian. Faham? D diprogramkan secara automatik sekiranya anda baru menggunakan kalkulator. 

Untuk menukar radian kepada darjah (radians to degrees) :

1. Pastikan ada huruf D pada bahagian atas skrin. 

2. Masukkan nilai radian yang ingin ditukar, contohnya 1.4 radian. Hanya masukkan nilai 1.4 sahaja. 

3. Tekan SHIFT, kemudian Ans. 

4. Pada skrin kalkulator, akan keluar pilihan 1 = D, 2 = R 3 = G. Tekan 2 untuk memasukkan unit bagi radian. 

5. Selepas anda menekan 2, pada skrin anda, akan keluar huruf r. [ 1.4r ]

6. Tekan = untuk mendapatkan nilai dalam darjah. [80.21°] 

Mudah bukan? Jika anda ingin gunakan formula juga boleh. Seterusnya,

Untuk menukar darjah kepada radian (degrees to radian) :

1. Tekan MODE MODE MODE MODE [4 kali]

2. Pada skrin, ada tiga pilihan, 1 = Deg, 2 = Rad, 3 = Gra. Tekan 2 untuk memilih radian.

3. Pada bahagian atas skrin, huruf D telah bertukar menjadi R. Ini bermakna, pengiraan yang melibatkan sudut akan keluar dalam bentuk radian.

4. Masukkan nilai darjah, [80.21] tanpa memasukkan simbol darjah. Jangan tekan [° ' ''] untuk unit darjah.  

5. Tekan SHIFT, kemudian Ans. 

6. Sama seperti tadi, cuma tekan 1 untuk memilih unit darjah. [80.21°]

7. Tekan = untuk mendapatkan nilai dalam radian. [1.399 rad/1.4 rad]

Ok, dah faham? Jika tak faham, sila bertanya. :) Malu bertanya, sesat jalan. Hehe. 

Opss, jangan lupa satu hal. Selepas sudah menjawab tajuk ini, sila resetkan kalkulator anda ke dalam degrees. Caranya :

1. Tekan SHIFT MODE 

2. Tekan 3 [All]

3. Done! 

Panjang Lengkok bagi Bulatan : 

Rumusnya ialah  : 

dengan s ialah panjang lengkok,
r ialah panjang jejari atau radius,

dan θ (dibaca theta) ialah nilat sudut yang tercangkum dalam unit radian.

Tajuk ini sememangnya banyak gambar rajah. Harap anda menyukai gambar rajah ini. Haha. 

Contoh : 

Contoh seterusnya : 

Nampak kan cara untuk menyelesaikannya? Gunakan rumus s = rθ kerana ia melibatkan panjang bagi lengkok. Jawapan bagi b yang kita peroleh adalah dalam unit radian. Kenapa? Ini disebabkan kita telah menggunakan rumus s = rθ iaitu nilai theta [θ] mestilah dalam radian. Wajib! 

Jom terus lagi kepada contoh : 

Rajah menunjukkan sebuah sektor OCM dengan jejari 12 cm dan panjang lengkok CB = 4.8 cm,

Cari,
a) ∠COB dalam darjah,

b) perimeter bagi kawasan berlorek.

Untuk selesaikan satu-satu masalah, kita perlu kenal pasti dahulu masalah yang kita hadapi. Masalah kita sekarang,  kita ingin mencari nilai bagi sudut COB. Ok, sekarang, cuba hubungkaitkan sudut COB dengan maklumat-maklumat yang telah kita peroleh. Kita telahpun ada nilai jejari iaitu 12 cm dan juga panjang lengkok = 4.8 cm. Ini menepati rumus s = rθ! Maka, terus selesaikan masalah yang kita hadapi. Fikir secara mendalam bagi setiap masalah.

Kumpulkan dahulu setiap maklumat, seterusnya hubungkaitkan setiap satu daripada mereka. Yosh! Anda memang seorang yang pandai! Jom teruskan soalan b.
Untuk mencari perimeter, tulis dahulu titik yang perlu dicari. Jika anda bermula di A, maka anda akan kembali semula kepada A. Dan begitulah sebaliknya. Contohnya :

Perimeter kawasan berlorek = AB + BC + CA 

Nampak tak? Mula dengan A, akhir dengan A. Jika ingin mulakan dengan B juga boleh. 

Perimeter kawasan berlorek = BC + CA + AB 

Mudah bukan? Tulis dahulu persamaan agar anda tidak mengambil nilai yang salah. Jadi, apa yang kita perlukan sekarang ialah AB, BC, dan CA.

Macam mana hendak mencari AB? Cuba ingat kembali, panjang jejari bagi suatu bulatan adalah sama sokmo(selalu). Maka, OC = OB. OB = OA + AB. AB = OB - OA. Ok, kita teruskan kepada penyelesaian. 

Ingat balik tajuk Trigonometri yang telah kita pelajari semasa Tingkatan 3 dahulu. Cikgu junior saya buat akronim macam ni,
STS KSH TTS = Saya Tak Hensem, Kalau Saya Hensem, Tentu Timah Syok!
Hahaha. Terpulanglah. Masing-masing punya idea.
T untuk Tentang, S untuk Sebelah, H untuk Hipotenus. 

Ok, saya akan sambung lagi tajuk ini. Tajuk ini pendek, tapi gambar rajahnya terlalu banyak. Jadi, saya terpaksa pecahkan juga kepada 3 bahagian. Selepas ini, kita akan mencari perimeter bagi segmen. Macam mana nak cari tembereng dll. 

Istilah : 

Jejari - Radius

Lengkok - Arc

Sector - Sektor

Tembereng - Chord

Segmen - Segment 

#2 : Functions

Assalamualaikum,

Yesterday, my junior in Form 3 asked me a question about Add Math - Functions. Wow! She is full with spirit. She already learnt Chapter 1. Haha, actually, I encouraged her to do so. I'm sorry, my English is so bad. Haha. Apa salahnya mencuba bukan? 

And her question sounded like this : 

First of all, we need to know in what group is fg(x). The function fg(x) is in Composite Functions. The question asks us to find f(x), while the function g(x) is already given. When either one of functions is given, next what we need to know is in which case it included. Refer to my post, Composite Functions, there are two cases. 

1. When we want to find the inside function

2. When we want to find the outside function

In this question, f(x) is the outside function. Then, we need to let g(x) = y, and express x in the term of y. 

So, can you find the answer? Try to find it, and check it with my answer. ^^ 

The solution is : 

 In your examinations, you can make as short as possible. As long as you can get the full marks. That's why, it is important to learn the mark scheme style from your own teacher. From the scheme, you can know when will you get mark, when will you get wrong and whatsoever. Haha. 

Berbelit lidah nak speaking. I'm trying. :D 

Jika fungsi itu fungsi di luar, maka perlu cara penggantian. Ingat tu! Good! You all are really awesome! Salute ah! Haha. 

Tajuk Linear Law lambat sikit nak publish. I'm facing difficulties with the graphs. I need to use Photoshop again. Since when I stop using Photoshop? I wonder? Hurmm .. Good Luck ye'alls!

#1 : Fungsi

Assalamualaikum, 

Pagi tadi, ada seorang hamba Allah Taala telah bertanyakan saya tentang soalan Add Math. Disebabkan berkesempatan, dan kebetulan saya telahpun membuka Microsoft Word 2007, saya terus menjawab soalan beliau. 

Soalannya : 

Dan jalan penyelesaiannya ialah : 

Gunakan teknik perbandingan apabila mendapat dua nilai yang sama. Ada dua cara untuk menjawab soalan ini. Cara pertama ialah cara yang saya tunjuk ini. Cara kedua ialah menjadi fungsi songsang kembali kepada fungsi asal. Jawapan yang diperoleh adalah sama. 

Waallahua'alam .. Jika ada soalan lagi, boleh tanya. :) Insya-Allah, akan dijawab. Dan untuk tajuk seterusnya, saya akan kupas tentang tajuk Hukum Linear atau Linear Law. Esok tak tahu lah, rumah saya naik air. Hehe. 

Janjang Geometri

Assalamualaikum .. 

  Indeks merupakan satu janjang geometri? Percaya atau tidak? Percayalahhhh! Haha. Indeks ialah satu contoh bagi janjang geometri kerana nisbah sepunya baginya adalah sama setiap masa. 

Janjang geometri ialah jujukan nombor yang diperoleh dengan mendarabkan sebutan sebelum dengan nisbah sepunya untuk mendapatkan sebutan selepas. Contohnya, andaikan nisbah sepunya ialah 2. T1 atau a ialah 3. Maka, untuk mendapatkan T2 = T1 (darab) 2 , T2 = 3 (darab) 2 = 6 .. Dan seterusnya.

Nisbah sepunya pula boleh diperoleh jika dua sebutan yang berturutan diberi, rumusnya : 

Dalam kata lain, sebutan selepas (bahagi) sebutan sebelum = nisbah sepunya

Contoh : Tiga sebutan pertama bagi janjang geometri ialah 4, 20, 100, ... Cari nisbah sepunya. 

Ambil selepas (bahagi) sebelum.
r = 100/20 atau 20/4

r = 5

Sebutan ke-n bagi Janjang Geometri : 

Untuk satu-satu sebutan dalam janjang geometri, sebutan sebelum perlu didarabkan dengan nisbah sepunya. Untuk mencari sebutan ke-n, rumusnya : 

Contoh yang sama : Tiga sebutan pertama bagi janjang geometri ialah 4, 20, 100, ... Cari sebutan ke-6.

Penyelesaian : 

1. Cari sebutan pertama dan r dahulu. 

a = 4, r = 20/4 

             = 5
2. Sebutan yang dinginkan ialah 6, maka n = 6. 

T9 = (4)(5)^(6-1)

     = (4)(5^5)

     = (4)(3125)

     = 12 500

Seperti, cara manual juga boleh digunakan. 

T3 = 100 x 5 = 500 x 5 = 2 500 x 5 = 12 500

Jawapan yang diperoleh adalah sama. Tapi, cara manual adalah sangat tidak digalakkan bagi janjang geometri, kerana biasanya ada yang melibatkan perpuluhan, pecahan dll. Sila gunakan rumus. Rumus disediakan dalam exam. 

Jom tengok contoh dalam bentuk pecahan. 

Contoh lagi, jom! Matematik kena banyakkan contoh. Cakap banyak-banyak, nanti naik mual pulak. Haha.

Apabila n = 8, maka bilangan sebutan bagi janjang geometri tersebut ialah 8.

Ok, mudah kan? Cuma perlu hati-hati ketika menjawab. Seterusnya, cara untuk menjawab hasil tambah bagi janjang geometri. 

Rumusnya, 

Bagi janjang geometri, terdapat syaratnya. Jika r > 1, maka r (tolak) 1. Jika r < 1, maka 1 (tolak) r. Nampak bezanya? Bagus! Anda sememangnya bijak! :)

Jom terus kepada contoh .. 

Ini jika r lebih besar daripada 1, maka rumus yang pertama digunakan. Jika r lebih kecil daripada 1 pula, 

Kesalahan umum pelajar ialah tidak menyelesaikan indeks dahulu. Sila selesaikan indeks dahulu, baru tolak. Ini sangat-sangat-sangat-sangat penting! Haha.

Jom ke subtopik seterusnya, infinity beb~ Haha. Apakah nombor terbesar yang pernah dinamakan? Siapa tahu, cuba jawab. Nanti habis semua, saya beritahu. Haha. 

Contoh : 

Ini merupakan cara pertama, saya telah menemukan tiga cara, tapi saya hanya letakkan dua cara sahaja. :)
Ingat, julat bagi r ialah lebih besar daripada -1 dan lebih kecil daripada 1. 

Cara yang satu lagi boleh juga digunakan, iaitu dengan membuat a = 8/(1 - r) ... (1) 

Cara ini juga akan mendapat jawapan yang sama. Mana-mana satu. Cari cara yang paling menjimatkan masa anda dan yang penting, anda faham cara yang gunakan! Yeah!

Tamat sudah tajuk Janjang. Cuti ada seminggu sahaja lagi. Bagi calon-calon SPM 2013, jangan bazirkan masa anda. Rajin-rajinkan diri membelek buku Add Maths yaa~ 

Bab 1 : Janjang

Assalamualaikum .. 

  Janjang atau dikenali sebagai Progressions dalam bahasa Inggeris, merupakan satu jujukan nombor yang memenuhi syarat tertentu. Terdapat dua jenis janjang yang akan kita pelajari : 

1. Janjang Aritmetik - Arithmetic Progressions (AP)

2. Janjang Geometri - Geometric Progressions (GP)

AP merupakan suatu jujukan nombor yang mempunyai beza yang sepunya (common difference). 

Sebagai contoh : 1, 3, 5, 7, ... merupakan satu jujukan nombor dengan beza sepunya 2. 

GP pula ialah satu jujukan nombor yang mempunyai nisbah yang sepunya (common ratio). 

Contoh : 4, 16, 64, 256, ... merupakan satu jujukan nombor dengan nisbah sepunya 4. 

Jom kita teruskan kepada Janjang Aritmetik. 

Terdapat dua keadaan bagi Janjang Aritmetik :

1. Jika beza sepunya positif, sebutan akan berterusan hingga ketakterhinggan yang positif

2. Jika beza sepunya negatif, sebutan akan berterusan hingga ketakterhinggan yang negatif. 

Contoh : Jika beza sepunya negatif .. 

Biarkan beza sepunya -3. Mulakan dengan nombor 1. 

= 1, -2 , -5, -8, ... 

Nampak tak? Sebutan bagi janjang ini menjadi semakin negatif. 

Sebutan bagi janjang aritmetik diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya dengan beza sepunya. 

= 1 + (-3) = -2 + (-3) = -5 ... 

Jadi, untuk mencari beza sepunya, terbalikkan proses penambahan menjadi proses penolakan. 

Sebutan yang diperoleh ialah, 

= 1, -2, -5, ... 

Maka, beza sepunya = -2 - 1 = -5 - (-2) = -3 

Rumus asasnya ialah, dengan d sebagai beza sepunya. 

 Ini hanya rumus, cara paling mudah ialah hanya ambil sebutan kedua tolak sebutan pertama. Jika ambil sebutan ketiga, maka tolak sebutan kedua. Ambil yang depan tolak yang belakang, dengan syarat, dua sebutan itu mestilah berjujukan. 

Contoh : 

Tentukan sama ada sebutan berikut merupakan janjang aritmetik. 

a) -10, -6, -2, ...

b) 4q, 5q, 7q, 10q, ... 

Penyelesaian : 

a) Ambil sebutan yang depan tolak belakang. 

-6 - (-10) = 4

-2 - (-6) = 4 

Kedua-duanya mendapat nilai yang sama, maka -10, -6, -2, ... merupakan janjang aritmetik. 

b) Depan tolak belakang. 

5q - 4q = q

7q - 5q = 2q

10q - 7q = 3q 

Nilai yang diperoleh tidak sama, maka 4q, 5q, 7q, ... bukan satu janjang aritmetik. 

Ok, begitu mudah bukan? Jom teruskan kepada subtopik seterusnya. 

Sebutan ke-n dalam satu Janjang Aritmetik. 

Ok, untuk mencari sebutan ke-n, 2 perkara penting yang perlu kita ada, iaitu a dan d. a ialah sebutan pertama bagi satu-satu janjang. Terus kepada contoh. 

Diberi, 3 sebutan pertama dalam satu janjang ialah 2, 10, 18, ... Cari sebutan ke-19 

Penyelesaian : 

Kaedah Pertama : Menggunakan rumus (Lebih cepat dan lebih cool, haha) 

Dalam kes ini, n = 19. Perlu dicari dahulu a dan d. a = sebutan pertama, a = 2. 

d = beza sepunya. d = T3 - T2 = T2 - T1
d = 18 - 10 = 10 - 2 

d = 8 

Ok, maklumat sudah diperoleh. Jom cari sebutan ke-19! 

a = 2, d = 8, n = 19. 

T19 = 2 + (19 - 1)(8)

       = 2 +144

       = 146 

Kaedah Kedua : Kaedah Manual (Sememangnya lambat) 

Kaedah ini lebih sesuai untuk penyemakan. Apa yang perlu ialah d. d = 8.
Maka, campurkan satu persatu sehingga anda memperoleh sebutan ke-19. 

2 + 8 = 10 + 8 = 18 + 8 = 26 + 8 = 34 + 8 = 42 + 8 = 50 + 8 = 58 + 8 = 66 + 8 = 74 + 8 = 82 + 8 = 90 + 8 = 98 + 8 = 106 + 8 = 114 + 8 = 122 + 8 = 130 + 8 = 138 + 8 = 146. 

Agak lambat bukan? Jadi, sila gunakan rumus yang telah dicipta. Jangan risau! Rumus disediakan dalam exam. 

Saya akan tunjukkan soalan yang kerap ditanya dalam exam. 

SPM 2007 : Kertas 1 : Soalan 10 

Tiga sebutan berturut-turut bagi suatu janjang aritmetik ialah 5 - x, 8, 2x. 

Cari beza sepunya janjang itu. 

Penyelesaian : 

Masih ingat lagi rumus mencari beza sepunya? Depan tolak belakang. 

8 - (5 - x) = 2x - 8    .... Pastikan letak kurungan untuk mengelakkan kesilapan

  8 - 5 + x = 2x - 8 

        3 + x = 2x - 8 

             -x = -11

               x = 11

Masih bukan jawapannya lagi. Anda perlu menggantikan nilai x untuk mendapatkan sebutan sebutan bagi janjang tersebut. 

5 - (11), 8, 2(11) = -6 , 8, 22 

Ok, ini sebutan yang sebenar. Hanya ambil yang depan tolak belakang. Salah satu sahaja. 

22 - 8 = 14

8 - (-6) = 14

d = 14 

Hasil Tambah bagi sebutan n pertama Janjang Aritmetik. 

Ingin tahu bagaiman formula ini diperoleh? Boleh cek di Wikipedia. Saya suka 'tanya' Uncle Wikipedia. Taip sahaja di ruangan kosong pada Pak Cik Google, insya-Allah, jumpa. Hehe. 

Ini merupakan kaedah penggunaan rumus. Jika anda terlebih rajin, maka kaedah manual juga boleh digunakan. 

1. Cari dahulu 10 sebutan pertama. Tambahkan sahajas setiap persamaan dengan 5. 

Sebutan yang akan diperoleh ialah : 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48. 

Hasil tambah 10 sebutan pertama = 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48 

                                                   = 255

Dan jika anda tidak reti menggunakan rumus, sila gunakan kaedah manual. Juga diterima dalam skema pemarkahan. Cuma agak melambatkan masa. 

Jika sebutan terakhir diberi, maka rumusnya ialah : 

Contoh : 

Janjang aritmetik 78, 73, 68, ..., -42 mempunyai 25 sebutan. Cari hasil tambah 25 sebutan tersebut.

Penyelesaian : 

1. Hanya cari nilai a dan l. 

a = 78, l = -42, n = 25

S25 = 25/2 (78 - 42) 

       = 25/2 (36)

       = 450 

Bagi kaedah ini, jangan guna kaedah manual. Betul-betul membazirkan masa. 25 sebutan? Perghh! Banyak tuu. 

Itu sahaja untuk bab Janjang Aritmetik. Jika ada soalan, sila tanya. Tajuk ini merupakan bab pertama Tingkatan 5. Selepas ini, Janjang Geometri. 

Bab 4 : Persamaan Serentak

Assalamualaikum .. 

Tajuk ini mempunyai persamaan dengan bab 11 Matematik Tingkatan 3. Tajuknya persis! Kembar mungkin. Haha. Sebelum mulakan tajuk ini, jom kita curi dengar perbualan antara seorang ibu dan anaknya. 

Pagi itu, begitu indah. Burung berkicauan, awan berarak di bawah langit biru. Matahari tersenyum riang. Sungguh cerah. Muhammad, seorang pelajar cemerlang di sekolahnya, kelihatan sedang berehat di anjung rumah. Dek kebosanan, dia bangkit dari kerusi malas dan terus menuju ke dapur. Dia perasan, ibunya seperti sedang kebingungan sedikit. 

Muhammad : Ibu, ibu kenapa ni? Macam ada masalah je? 

Ibu              : Macam tu lah Muhammad ooi. Kelmarin, ibu dapat tempahan untuk menjahit baju.               Almaklumlah, ibu kamu ni kan penjahit pro. Haha. Pro la sangat. 

Muhammad : Haha, buat lawak pulak ibu ni. Habis tu, apa yang ibu peningkan? 

Ibu              : Pelanggan ibu ni, dia bagi kain kat ibu. Tapi, dia tak bagitau panjang dan lebar kain ni. Dia cuma cakap, jumlah panjang dan lebar kain ni 500 cm. Luasnya pulak, dia kata 144 m. Panjang sangat lah, tak larat mak nak kira panjang dan lebar dia. Haishh~ 

Muhammad : Oh! Ini mudah jer ibu. Informasi dah lengkap. Nanti Muhammad tolong ibu yer. Muhammad belajar benda ni kat sekolah ni. 

Ibu              : Ye? Baguslah. Untung ibu hantar pergi sekolah. Sayang Muhammad. 

Muhammad : Sayang ibu juga. Ok, disebabkan kita tak tahu panjang dan lebar dia, kita buat panjang jadi y dan lebar jadi x. Ini kita panggil unknown.
Ibu              : Oh, teruskan. Ibu tak faham apa-apa. Haha. 

Muhammad : Haha. Ok, ibu. Ok, tadi ibu kata jumlah panjang dan lebar ialah 500 cm kan? Maka, x + y + x + y = 500 . Lepas tu, ibu kata, luas dia 144 m kan? Kita tukar jadi cm. Jadi, 144 m = 14 400 cm.  Luas kain tu sama dengan xy = 14 400. Nanti Muhammad buat lakaran dulu. Baru ibu nampak. Hehe. 

Muhammad : Ok, ibu. Sekarang kita dah ada dua maklumat ni. Sekarang Muhammad akan buat jalan pengiraan ye? Sebentar jer ni. 

Muhammad : Tadaaaa! Dah siap dah ibu! Panjangnya 160 cm, lebarnya 90 cm. Hebatkan anak ibu? Haha. 

Ibu              : Wah, hebatnya anak ibu. Bangga ibu. Terima kasih, Muhammad. Kamu memang anak yang baik. 

Tamat sudah cerita antara seorang ibu dan anak. Menarik bukan? Matematik diaplikasikan dalam kehidupan. Itulah gunanya Persamaan Serentak ini. Jika maklumat yang ada cukup lengkap, maka jalan kerja dapat dilakukan. 

Semasa di Tingkatan 3, kita belajar dua kaedah. 

1. Penghapusan - Elimination

2. Penggantian - Substitution

Dengan sukacita dimaklumkan bahawa, anda hanya boleh menggunakan kaedah penggantian. Saya masih belum pernah menjumpai soalan yang boleh digunakan dengan kaedah penghapusan. Jadi, mahirkan diri anda. Yes!

Jom saya tunjuk contoh yang paling kerap ditanya dalam peperiksaan. Soalan ini merupakan soalan wajib bagi kertas 2. Soalan mula-mula sekali. Jika soalan memberikan syarat sama ada inginkan jawapan dalam bentuk angka bererti atau perpuluhan, maka teruskan guna kaedah penyempurnaan kuasa dua atau penggunaan rumus. Jika soalan tidak memberikan syarat ini, sila gunakan kaedah pemfaktoran. Lebih mudah dan menjimatkan masa. 

Saya ambil soalan SPM 2010. 

Ok, itu untuk penggunaan rumus. Ingat! Jangan lupa tanda ±. Ini penting. Selepas dapat nilai bagi salah satu anu, gantikannya untuk dapatkan nilai bagi satu lagi. 

Seterusnya, bagi yang ingin menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. 

Ok, jawapan yang diperoleh, sama sahaja. Dalam tajuk ini, ada 2 subtopik. Saya sudah kupaskan subtopik 4.2 dalam dialog di atas. Subtopik 4.2 berkaitan dengan pengaplikasian persamaan serentak dalam kehidupan seharian. Setakat hari ini, soalan yang saya pernah jawab, tak pernah lagi masuk dalam exam soalan sebegitu rupa. Haha. 

Walau apapun, mahirkan diri anda setiap subtopik yang ada. Jangan rugikannya. Siapa tahu, nanti-nanti ibu bapa kita minta tolong, kita dapat tolong. Siap dapat pahala lagi! Insya-Allah. Gunakan ilmu ke arah yang baik yaa semua :) 

Habis sudah 4 bab untuk Tingkatan 4. Tajuk Indeks dan Logaritma saya akan tinggalkan dahulu. Saya akan bagi ruang kepada 5 bab tingkatan 5 kerana sudah hampir awal tahun. Huhu. 

Good Luck! Kalau ada masa, saya akan postkan lebih banyak contoh soalan. Terutamanya soalan yang dicedok daripada SPM. Sila bertanya jika ada soalan.

Ketaksamaan Kuadratik

Assalamualaikum .. 

Andaikan anda seorang manusia yang mempunyai jawatan yang agak besar, rumah besar, pokoknya, segala-galanya besar. Agak-agaknya, di manakah kedudukan anda? Pastinya di atas bukan?

Andaikan lagi, anda seorang yang lemah, kecil jasadnya, kecil pendapatannya, sungguh sedih bukan? Jadi, di manakah tempat anda sekarang? Saya agak, kedudukan anda akan berada di bawah.

Berbalik kepada tajuk asal, Ketaksamaan Kuadratik atau Quadratic Inequalities. Cuba recall balik pelajaran Matematik semasa tingkatan 3, bab 12 : Linear Inequalities / Ketaksamaan Linear. Dalam tajuk ini, kita banyak mendengar istilah lebih besar, lebih kecil, lebih besar dan sama dengan, dan lebih kecil dan sama dengan. Masih ingat kan? Ok, dalam tajuk ini juga, perkara yang sama kita akan belajar. Tapi, kita akan libatkan lakaran graf dalam tajuk ini. 

Review balik : 

> - Lebih besar

< - Lebih kecil 

≥ - Lebih besar dan sama dengan

≤ - Lebih kecil dan sama dengan

Bagi ketaksamaan kuadratik, ada 2 keadaan. 

1. Keadaan yang mana f(x) < 0 atau f(x) ≤ 0 [Kedua-duanya sama sahaja]

Bentuk grafnya : 

Apabila simbol lebih kecil digunakan [ < , ≤ ] ..

Maka, kawasan yang perlu dilorek ialah di bawah paksi-x.

Dengan keadaan m <  n

Julat yang diperoleh ialah m < x < n

2. Keadaan yang mana f(x) > 0 atau f(x) ≥ 0 [Kedua-duanya sama]

Bentuk grafnya : 

Apabila simbol lebih besar digunakan [ >, ≥ ] .. 

Maka, kawasan yang perlu dilorek ialah di atas paksi-x.

Dengan keadaan, m < n

Julat yang diperoleh ialah x > m atau x < n

Faham? Ingat balik kisah tadi. Apabila kita ada jawatan besar, kita duduk di mana. Apabila jawatan kecil, kedudukan kita di mana. :) Hanya analogi. 

Jom lihat contoh .. 

Proses pemfaktoran boleh menggunakan kalkulator. Sila rujuk di sini. Pastikan proses berbalik ya. 

Ok, dalam persamaan kuadratik yang diberi, simbol < digunakan. Maka, julat yang akan diperoleh adalah dalam bentuk m < x < n. Ingat! m lebih kecil daripada n. Julat sudah diperoleh, satu lagi perkara perlu dibuat. Lakaran graf. 

Kerana simbol <, maka kawasan yang dilorek ialah kawasan di bawah paksi-x.

Contoh seterusnya berkaitan dengan simbol > .. 

Disebabkan simbol > digunakan, maka julat yang diperoleh dalam bentuk x > m atau x < n. Wajib dipecahkan kepada dua. Tidak boleh digabungkan kedua-dua ketaksamaan ini. Tidak boleh. Perlu ingat satu hal lagi, m lebih kecil daripada n. Seterusnya, buat lakaran graf. Lakaran tidak memerlukan skala sebenar. Hanya lakaran. 

Simbol > digunakan, maka kawasan yang dilorek ialah di atas paksi-x. 

Kedua-dua contoh ini untuk nilai a > 0. Bagaimana pula jika a < 0? Pastinya graf yang diperoleh akan mendapat nilai maksimum. Oh, jangan risau. Kita gunakan kaedah alternatif. Cara ini merupakan cara terbaik. 

Nampak perbezaannya? Hanya tukarkan a daripada negatif kepada positif dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Ingat! Simbol akan bertukar wajah jika didarab atau dibahagi dengan negatif. Ok, sekarang lakaran graf. Buat seperti biasa. 

Simbol <, maka kawasan di bawah paksi-x dilorek. 

Mudah bukan? Soalan berkaitan dengan tajuk ini kebiasaan wajib masuk di Kertas 1. 3 atau 4 markah akan diberi. 

Perkara yang wajib ada : 

1. Susun persamaan dalam bentuk am

2. Faktorkan, pastikan ada kurungan. 

3. Julat

4. Lakaran graf. 

Keempat-empat perkara ini sewajibnya ditempa di atas kertas soalan. Jangan tinggalkan. Sesetengah skema jawapan hanya inginkan salah satu daripada julat atau lakaran graf. Tapi, bagi saya, semolek-moleknya, buat dua-dua. Tak rugi. Haha. 

Ok, itu sahaja. Tamat sudah tajuk 3. Seterusnya, saya akan pergi kepada tajuk 4. Dan selepas habis tajuk 4, saya akan masuk kepada tajuk Tingkatan 5. Hampir awal tahun sudah kita. Semoga cuti anda diisi dengan perkara yang berfaedah. :) 

Bab 3 : Fungsi Kuadratik

Assalamualaikum .. 

Apakah fungsi kuadratik? Fungsi itu apa? Haa, kalau nak tahu apa itu fungsi, silakan rujuk tajuk fungsi. Secara umumnya, saya mengklasifikasikan fungsi sebagai hubungan yang berakhlak mulia. Haha. Fungsi hanya ikut satu jalan sahaja. Tujuan dia memang istiqamah. Kalau nak belajar macam mana nak konsisten dalam hidup, kena belajar dengan Abang Fungsi mungkin. Haha.

Ok, lupakan. Teruskan kepada fungsi kuadratik. Bentuk am fungsi kuadratik ialah : 

a, b, dan c merupakan pemalar. x pula merupakan pembolehubah. Kuasa tertinggi bagi persamaan kuadratik ialah 2. Jika kita memplot graf bagi persamaan kuadratik, bentuk yang akan kita peroleh ialah bentuk parabola. Parabola? Hurm, tengok gambar saja. Mesti faham :) 

Parabolic Graph

Jika pekali bagi x², iaitu a > 0, maka graf bagi fungsi kuadratik tersebut mempunyai nilai minimum dan bentuknya ialah ∪. 

Jika pekali bagi x², iaitu a < 0, maka graf bagi fungsi kuadratik tersebut mempunyai nilai maksimum dan bentuknya ialah ∩.

Saya sertakan lagi gambar rajah. Gambar juga pandai berkata-kata, letak sahaja, 'mereka' akan 'berbicara' denganmu. Cewah~ 

Keadaan yang mana a > 0

 Keadaan bagi punca f(x) ialah .... Rujuk di sini 

Keadaan yang mana a < 0

Keadaan punca ..

Teruskan kepada soalan ... Soalannya hampir sama dengan subtopik pada bab 2. Mahirkan sahaja diri dengan bab 2, insya-Allah, boleh buat. Saya akan datangkan soalan yang khusus kepada bab ini. 

Soalannya lebih kurang sama kan dengan tajuk 2? Bagus! Mahirkan diri anda! Yakin pada diri bahawa diri boleh buat! Jom teruskan .. 

Tadi, nilai a menentukan sama ada sesuatu graf itu mempunyai titik minimum atau maksimum. Sekarang, kita ingin tentukan koordinat bagi titik minimum atau maksimum tersebut. Untuk mencari titik ini, penting untuk memahirkan diri dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Rumus asalnya ialah : 

Sekarang, bahagian kanan persamaan akan dipindah kesemuanya ke sebelah kiri. Biarkan sama dengan 0. Rumusnya menjadi : 

Nampak tak perbezaannya? Ingat satu perkara, nilai pekali x², iaitu a wajib sama dengan 1. Cuma beza dengan tajuk 2 ialah tajuk ini perlu difaktorkan bukan dihilangkan terus. Ingat bezanya. Hanya faktor. Nilai a masih wujud, cuma berada di luar kurungan.

Contoh untuk titik minimum, a > 0. 

Faktorkan 2. Letakkan di luar kurungan. Jadi, jawapan telah kita peroleh. Titik minimumnya ialah 31/8. Titik minimum ini mewakili nilai pada paksi-y. Bagi paksi-x pula, untuk menentukannya, hanya ambil nilai yang ada di dalam kurungan. Bagi kes ini, x + 7/4. Jadikannya sama dengan 0. 

x + 7/4 = 0

x = - 7/4

Maka, koordinat titik minimum pada paksi-x ialah -7/4. 

Oleh itu, koordinat titik minimumnya ialah (-7/4, 31/8) 

Contoh untuk a < 0, 

Koordinat titik maksimum pada paksi-y ialah 16/3. Pada paksi-x pula, 

x - 2/3 = 0

x = 2/3

Maka, koordinat titik maksimum ialah (2/3, 16/9)

Titik maksimum/minimum pada paksi-x juga dikenali sebagai titik simetri 'axis of symmetry'. Titik simetri juga boleh dicari dengan menggunakan rumus : 

a = -3, b = 4 

- b/2a = - 4/2(-3)

= 2/3 

Jawapan yang diperoleh sama dengan jawapan di atas.

Langkah-langkah untuk melakar graf : 

1. Tentukan sama ada titik bagi fungsi itu minimum atau maksimum

2. Cari titik itu dengan menyempurnakan kuasa dua.

3. Cari titik persilangan-y. Persilangan-y terjadi apabila x = 0.

4. Cari titik persilangan-x. Persilangan-x terjadi apabila y = 0. Gunakan cara yang sama untuk mencari punca. Sama ada pemfaktoran, penyempurnaan kuasa dua atau rumus.

5. Lakarkan graf.

Graf hanya dilakar, buka diplot. Cuma lakaran. Titik-titik yang diperlukan ialah :

1. Titik maksimum/minimum ---- Ini perkara paling penting

2. Persilangan-y

3. Persilangan-x (Jika ada) 

Saya telah rangkumkan 3 subtopik ke dalam post ini. Subtopik terakhir saya akan postkan berasingan daripada post ini. Semoga dapat buat yang terbaik! Yeah! Anda boleh! Saya boleh!