6.1 Permutations - Pilihatur

Assalamualaikum .. 

We go to this topic one by one. It is due to, I don't have much time to spend on a topic at this moment. 

Okei, kita telusuri subtopik Pilihatur dahulu. Untuk takrifnya, sila rujuk Pilih-Atur dan Gabungan. 

Perkenalkan formula dahulu. 

P mewakili Permutations. Lepas kenal formula, kita pergi kepada contoh. Treng treng .. 

Nak tahu betul atau salah? Haha. Itu boleh list sendiriii. Tak kuasa I. 

Okei, contoh soalan di atas merupakan soalan yang tidak disertakan syarat. Yakni, kesemua objek digunakan dalam proses pilihatur. 

Bagi yang bersyarat, sila gunakan rumus ini : 

Make it in a simpler way again, nPr baca macam ini punya style : 

Daripada n objek, nak susun r jeee .. Maka, jika 4P2 akan bermaksud sebegini ..
4P2 = Daripada 4 objek, nak susun 2 jee .. See? It is quite easy righttt ..? 

Okei, terus kepada contoh : 

6P3 = Daripada 6 objek, nak susun 3 jee. 

Untuk pelajaran seterusnya, kita tunjuk syarat yang lagi payah. I'll come again next two weeks. Buzy, buzy! 

I'll combine together Permutations and Combinations. Yeah, because it is Combinations. 

Pilih-Atur dan Gabungan

Assalamualaikum .. 

  Satu tajuk yang begitu famous dalam Kertas 1 kerana dia wajib datang. Dan sesungguhnya, pelajar wajib menjawabnya. 

Make it in a simpler way .. 

Permutations iaitu Pilihatur ialah satu proses yang mana melibatkan pemilihan objek untuk MENYUSUN semula dalam tatatertib yang berbeza. 

Combinations iaitu Gabungan ialah satu proses yang mana melibatkan pemilihan objek juga tapi tujuannya untuk MENGGABUNGKAN objek tadi dalam beberapa kumpulan. 

Kesimpulannya, Permutations mementingkan susunan manakala Combinations tidak ambil kisah dengan susunan. Ikut suka hati jee. Haha. 

Contoh lain kali eah~ Tak sempat la pulak. Asal faham, ok la tuu. Reti beza, reti guna. 

Peace !! 

Good Luck AddMath SPM 2013! A few weeks to go .. Ganbatte!

Persamaan Indeks dan Logaritma

Assalamualaikum ..

Adakah Indeks dan Log mempunyai persamaan? Bukan begitu maksud 'persamaan' pada tajuk kita kali. Tapi, maksud persamaan ialah dua ungkapan dihubungkan dengan tanda sama dengan ( = ). Gitu dongg. 

Contoh ungkapan : x + 4, 6, y - 7. Ini dipanggil ungkapan. Jika persamaan pula : x + 4 = 5.

Ini baru dipanggil satu persamaan. 

Ok, soalan persamaan Indeks dan Logaritma merupakan soalan yang agak femes dalam kertas 1 Matematik Tambahan SPM. Pernah satu tahun, soalan log muncul dalam Kertas 2 - 2011. 

Apa yang diperlukan seorang pelajar semasa mengendalikan masalah penyelesaian persamaan ini ialah :

1. Kemahiran pemfaktoran

2. Mahir dengan hukum indeks/logaritma

3. Mahir menukarkan dari indeks kepada log dan sebaliknya. 

4. Penukaran asas bagi logaritma.

Kemahiran pemfaktoran biasanya diperlukan semasa menjawab soalan persamaan indeks. Kita teruskan kepada contoh : 

Berikut merupakan langkah-langkah penyelesaian : 

Kalau mengikut pengalaman saya, ramai pelajar pening dengan proses pemfaktoran. Pening? Jika pening, gunakan cara penggantian. Biarkan setiap nombor yang ingin difaktorkan menjadi algebra. Saya ambil contoh yang sama. 

Biar lambat asal selamat. Tapi, kalau dah biasa, mesti cepat! Lepas selesai proses pemfaktoran, sila gantikan semula algebra-algebra tersebut dengan nombor asal.

Asas mestilah sama, barulah proses penyelesaian boleh dilakukan. 

Contoh lagi : 

Nota : Apabila dua nombor mempunyai nilai indeks yang sama, dan dihubungkan dengan operasi darab atau bahagi, maka mereka dapat digabungkan. Sebagai contoh 4 dan 9. Indeks mereka ialah x, dan mereka dihubungkan dengan operasi darab. 

Apabila sebelah kiri dan sebelah kanan persamaan mempunyai asas yang sama dan kiri ada satu asas, kanan pun ada satu asas, maka buang asas tersebut dan hanya ambil indeks sahaja. 

Jika nilai indeks sama, dan kiri ada satu asas dan kanan pun satu asas ... maka buang indeks, ambil asas sahaja. 

Contohnya : 

Indeks dah sama, buang jeee .. Teknik sama, kita panggil kaedah perbandingan. Kita banding-banding laa sebelah kanan dan sebelah kiri. Kalau sama, betul la tu. Buang yang sama. 

Penyelesaian persamaan logaritma akan disambung lain kali. Kesuntukan masa. Bukan mudah nak update blog. Pheww. 

Tak faham, sila tanya. 

Revision : Contoh untuk Fungsi Gubahan

Assalamualaikum .. 

Berjumpa lagi kita pada segmen seterusnya. Contoh bagi soalan ini di-update atas permintaan uknown yang telah komen di post Fungsi Gubahan. Beliau inginkan contoh dalam bentuk pecahan. Pecahan sekolah rendah memang mudah, tapi apabila melibatkan algebra, menjadi agak susah bukan? Nevermind, hendak seribu daya, tak hendak seribu dalih. 

Jika fungsi 'di dalam' dalam bentuk biasa : 

Contoh soalan : 

Ingat kembali langkah-langkah yang perlu dilakukan. Apabila mencari fungsi 'di luar', maka teknik penggantian perlu diaplikasikan. Gantikan x dalam fungsi gubahan!

Apabila dapat jawapan, gantikan y dengan x semula. Apabila dalam kurungan y, maka sebutan fungsi juga dalam sebutan y. Jika dalam kurungan x, maka sebutannya juga dalam sebutan x.

Contoh yang lagi kompleks, bagi kes kedua-dua fungsi asal dalam bentuk pecahan : 

Langkah sama seperti sebelum ini. Perhatikan sebaiknya. 

Sebenarnya, tak menjadi masalah bagaimanapun rupa sesuatu fungsi itu. Asalkan, kita mengikut setiap satu langkah untuk mencari fungsi 'di luar'. 

Apa yang penting, kita memindah dan menggantikan sebutan fungsi yang betul ke tempat yang sepatutnya. 

Semoga kalian semua dipermudah segala urusan. 

Indeks dan Logaritma

Assalamualaikum .. 

Sekian lama tidak meng-update blog. Buzy, buzy sungguh. Exam semakin mendatang. Tidak sampai sebulan lagi. Ok, lupakan kisah ini. Teruskan dengan kisah cinta antara Indeks dan Logaritma yang terjalin sejak sekian lama setelah John Napier mengasaskan Logaritma. 

Indeks pada pemahaman umum : Mendarabkan nombor atau algebra yang sama banyak banyak banyak kali. Kalau sekali pun dah jadi. Hehe. 

Sebarang nombor atau algebra yang sama jika didarabkan, boleh ditulis dalam bentuk tatatanda indeks. It looks something like this ... Jen jen jen .. 

Nota : Makhluk-makhluk yang berwarna merah itu dipanggil indeks.

Nombor 4 didarabkan dengan nombor 4 sebanyak lima kali, maka tatatanda indeksnya ialah 4^5 (4 kuasa 5). 4, b, dan (m + n) dikenali sebagai asas.

Sudah faham mungkin ...? Bagus. 

Indeks juga boleh menjadi suatu pecahan. Ia dinamakan sebagai Indeks Pecahan. Nilai pengangka (sebelah atas) akan menjadi kuasa, manakala nilai penyebut (sebelah bawah) akan menjadi punca kuasa.

Nota : Hijau untuk pengangka (kuasa), merah untuk penyebut (punca kuasa).

Kita bergerak ke destinasi seterusnya ... Hukum Indeks : 

Syarat bagi hukum pertama dan kedua : Nilai asas mestilah sama, barulah operasi penambahan dan penolakan indeks dapat dilakukan. 

Hukum-hukum ini sangat penting apabila ingin meringkaskan sesuatu persamaan indeks. Contohnya :  

Berwarna lagi tu. Hampir kesemua hukum telah diaplikasikan dalam persamaan ini. Perhatikan bagaimana setiap berjalan dalam persamaan tersebut. Cuba kaji baik-baik. Nanti fahamla tuu. Yang bahagi tukar jadi tolak, yang darab tukar jadi tambah. Simple bukan? Syaratnya, asas mestilah sama.

Habis tajuk Indeks, buat masa sekarang. Nanti kita sambung lagi. Kita teruskan dengan Logaritma. 

Logaritma pada asasnya ialah : Proses pembalikan indeks - dengan cara menukarkan asas indeks menjadi asas logaritma. Kita tengok contoh yee .. 

 Nota : Bagi persamaan indeks - merah itu asas, biru itu nilai indeks, pink itu jawapan kepada indeks. 

            Bagi persamaan log - merah itu tetap asas, biru itu jawapan, pink menjadi nilai log. 

Nampak perbezaannya? Apa yang penting, bukan kerjasama .. tapi pastikan asas indeks dan asas log itu sama! Kalau tak sama, salah laa tu. Haha. Beres!

Hukum indeks - lebih kurang jee dengan indeks punya hukum.

 Syarat untuk persamaan pertama dan kedua : Asas mestilah SAMA ! Warna merah itu asas yee. 

Darab jadi tambah, bahagi jadi tolak. Tambah jadi darab, tolak jadi bahagi. Akaskan sahaja.
Kalau kuasa? Pindahkan kuasa pergi hadapan log. 

Pesanan ikhlas : Nilai log mestilah sentiasa positif. Log tidak menerima sebarang nombor negatif untuk berdamping dengannya. Jadi, sentiasa positifkan minda anda!

Tambahan : Log juga tidak menerima sifar. Tidak tertakrif jika nilai log ialah sifar. 

Jika asas sama dengan nilai log .............? 

Jawapan jadi sama dengan satu laaa! Mudah bukan ..? 

Jom kita ringkaskan persamaan logaritma : 

Tambah jadi darab, tolak jadi bahagi. Ini bagi soalan permudahkan. Kalau soalan persusahkan? Haha. Darab jadi tambah, bahagi jadi darab laaa. Terbalikkannya. Asas sama dengan nilai, jadikan sebagai 1.

Setakat ini sahaja untuk post kali ini. Soalan persamaan akan disambung lain kali. InsyaAllah. 

Semoga dipermudah segala urusan mereka yang membaca blog ini. :)

Ada Style? Layannn !

Assalamualaikum .. 

 Bertemu lagi kita pada waktu yang tidak sama, dan hari yang berlainan. Saya menulis, anda membaca. Kira bertemu atau tidak? Dunia sudah moden, bak iklan Nokia, " Connecting People ". Facebook pula, ada tagline dia? Ah, aku tak tahu. Lupakan. Kalau rasa dunia sudah maju, jadi gunakanlah platform yang sedia ada itu sebaik mungkin. Sebarkan dakwah, sampaikan ilmu, kongsi (share) maklumat .. Tapi, pastikan betul. Kalau salah? Oh, minta maaflah. Harap-harap, orang lain open minded. 

 Post kali ini, saya tak nak sentuh sangat tentang sukatan Matematik Tambahan, tetapi saya ingin berkongsi sedikit. Kongsi bagaimana caranya untuk study AddMath. Almaklumlah, AddMath ni susah, sangat payah. Lain terus dengan Matematik Moden. Oh ! Tak apalah, perspektif manusia berbeza. 

Tapi, kalau kita fikirkan susah, maka ---- susahlah kita nak dapat. Ingat balik pepatah Melayu, " hendak seribu daya, tak hendak seribu dalih." Adnan Sempit pula, " Di mana ada kemahuan, di situ ada highway." Eah, lupalah. Filem Adnan Sempit kan? Maaflah, tak minat sangat filem Melayu. Haha.

Nak berjaya ! Yeah ! Nak berjaya ! Semangatkan diri anda dengan kata-kata semangat. Pujuk diri sendiri, " Aku boleh, ya ! Aku boleh buat ! ". Saya ingin isytiharkan di sini, saya merupakan peminat Anime. Haha. Tengok pun tengok juga, tapi kena pertimbangkanlah pro dan cons sesuatu cerita tu. Kartun Jepun atau lebih famous dengan Anime, banyak memberi pengajaran sebenarnya. Nilai persahabatan, kasih sayang, tak mudah putus asa. Oh, aku lari topik. Ok, pokoknya, kita perlu ada satu motivasi dalam diri kita. Motivasi itu awalnya perlu datang daripada diri sendiri. Kita semua hidup dengan tekanan. Percaya atau tidak? Buktinya, kalau hujung minggu, anda semua pergi tak ke sekolah kalau tiada urusan? Tentunya tidak ! 

Kalau hari bersekolah pula, kita pastinya pergi sekolah. Sebab ibu bapa paksa, lagi .. kalau tak pergi, nanti cikgu disiplin marah. Haa, nampak tak tekanan hidup kita? 

Jadi, tekan diri anda dengan tekanan yang anda dapat terima ! Macam spring la, tekan pun tekan jugak, tapi ada hadnya. Motivasi, tekanan, paksaan. Oh, kita semua perlukan mereka itu. 

----------------------- 

Ok, kembali kepada tujuan asal. Jauh betul larinya. Bagaimanakah caranya untuk mengulang kaji Matematik Tambahan? Jen jen jen. Ada style masing-masing tak? Jadi, apa salahnya gunakan style anda yang tersendiri untuk mengulang kaji .... Dengan syarat ! Dengan syarat, anda tidak melayan nafsu malas, nafsu pemalas, dan nafsu yang memalaskan. 

Saya ambil contoh diri saya. Saya suka study dengan menggunakan buku teks. Baca, haaaha ! Bukan baca jugak, tapi perhatikan jalan kira yang termaktub dalam buku teks tersebut. Lepas rasa macam faham, ambil satu soalan dan cuba jawab. Kalau dapat jawapan, oh rasa macam Alhamdulillah ! Tapi, kalau tak dapat, rasa tertekan dan sebab tekanan itulah membuatkan rasa ingin cari lagi jawapan sampai dapat. 

Tak nak guna buku teks? Banyak lagi buku lain. Buku rujukan, buku soalan, buku latihan dan lain-lain. Tapi, bagi saya sendiri, buku teks lebih bagus penerangannya. Lebih jelas. Sesuai gituuuu. 

My favourite books. Huhu. 

--------------------- 

Nak ingat formula bagaimana? 

1. Hafal

2. Hafaz

3.  ...... 

Haha, apa lagi kalau bukan buat latihan. Setakat hafal, apa nak jadi. Hafal tu hafal jugak. Tapi, lebih baik buat latihan banyak. Bukan semua formula disediakan dalam peperiksaan. Walaupun formula itu telah ada sekalipun, apa salahnya kalau anda ingat. Tak gitu? Pepatah Arab ada berbunyi, " Ilmu tanpa amal ibarat pokok tanpa buah, awan tanpa hujan ". Kita duk main hafal terus, tapi latihannya takde. Macam mana? Apa yang akan terjadi? Pastinya kita tak tahu bila masa yang sesuai untuk gunakan formula itu. 

Ilmu - Teori .. Amal - Praktikal. Teori + Praktikal = Walla !  Ini baru betul. Hafal + Latihan, insyaAllah menjadi. Terpulanglah, nak hafal ke apa ke. Yang penting, tahu bila nak guna formula dan tahu formula mana yang kena guna. 

---------------------

Macam mana nak conquer semua tajuk? 

Hurmm, susah juga ni. Tapi, kalau mengikut pemerhatian saya, soalan Addmath keluar style sama je tiap-tiap tahun. Sebagai contohnya, Bahagian C. Pilih la dua tajuk yang paling kita boleh skor. Bagi saya, tajuk Penyelesaian Segitiga dan Gerakan lebih mudah. Tapi, kalau nak jawab tajuk Gerakan sepanjang Garis Lurus, kemahiran kalkulus perlu ada. Jadi, lebih baik jawab Pemprogramman Linear. Ah, pilih sahaja sendiri. Dua sahaja dah cukup. 

Bagi bahagian B, fokus kepada tajuk Hukum Linear, Sukatan Membulat dan Taburan Kebarangkalian. InsyaAllah, dapat skor. 

Tapi, kalau betul-betul nak tawan semua tajuk, perlukan pengorbanan. Pengorbanan masa la paling banyak diperlukan. Tiap-tiap hari, fokus satu tajuk. Ambil masa seminggu. Buat satu target. Satu minggu, satu topik ! Aha ! Style masing-masing. Yang pasti, satu minggu satu topik bukan style saya. Haha.

Playing with Algebra. 

----------------------- 

Banyak lagi alternatif lain. Style sendiri kan? Orang lain tak dapat ubah diri kita selagi kita tak nak ubah diri sendiri. Sebab itu, buat apa-apapun, kena mula dengan diri sendiri dulu. Fokuskan satu target. Nak A+ ke, nak B+ atau mana-mana grade lah. Terpulanglah. 

Usaha, Ikhtiar -- Tawakkal kepada Allah Taala. Insya-Allah, berjaya :) Kalau tak berjaya, itu tandanya Allah nak uji kita percaya kepada Dia atau tidak. Allah sentiasa tahu apa yang terbaik untuk kita. 

Cosine Rule

Assalamualaikum .. 

Oh, sekian lama tidak mengupdate blog. Lama sungguh. Agak sibuk kebelakangan ini. Program banyak. Banyak sangat-sangat. Ah, lupakan tentang saya. Kita fokus tajuk kita, Petua Kosinus atau Cosine Rule. 

Recall tajuk Sine Rule. Untuk menggunakan Petua Sinus, beberapa kriteria perlu dipenuhi. 

1. Dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi,

2. Dua sudut dan satu sisi diberi. 

Bagi petua Kosinus, lain syaratnya. Macam nak masuk Universiti lah. Nak masuk U1 kena penuhkan syarat ini ini, nak masuk U2 kena penuhkan syarat itu itu. Haa, Matematik pun sama. Nak guna satu-satu formula, syarat itu perlu dipenuhi terlebih dahulu. 

Syarat menggunakan petua Kosinus : 

1. Dua sisi dan satu sudut kandung diberi,

2. Ketiga-tiga sisi diberi. 

Bagaimana rupanya sudut kandung? Ini dia ... 

Garisan biru merupakan garisan yang diberi nilai panjangnya. Garisan merah pula tidak diketahui nilainya. Sudut hitam merupakan sudut yang diberi. Maka, sudut itu dikenali sebagai sudut kandung kerana ia dikandung oleh dua sisi yang diketahui nilainya. Bereh?

Rumusnya ialah : (Rumus diberi dalam exam, jangan rungsing boh !)

Pilih salah satu sahaja, saya suka gunakan yang atas sekali. Huruf kecil mewakili panjang garisan, huruf besar mewakili nilai bagi sudut. Garisan a akan bertentangan dengan sudut A, garisan b akan berlawanan dengan sudut B dan begitulah sebaliknya.

Apabila menjawab soalan daripada tajuk ini, perkara pertama perlu dikenal pasti ialah Petua manakah perlu digunakan, sama ada Sinus atau Kosinus. Rujuk syarat yang telah ditetapkan. 

Bagi kes ini, dua sisi diberi dan satu sudut kandung diberi. Maka, Petua Kosinus perlu digunakan. 

Kedua, kenal pasti garis yang bertentangan dengan sudut yang digunakan. Jika gunakan sudut A (50), maka garis yang berlawanan dengannya ialah CB. 

Ingat kembali formula. Huruf kecil untuk panjang sisi, huruf besar untuk sudut. Ok. Itu bagi kes dua sisi dan satu sudut kandung diberi. Seterusnya, kita tengok jika ketiga-tiga sisi diberi. 

Perkara pertama - Kenal pasti formula yang perlu digunakan. Bagi kes ini, kesemua sisi diberi, bermakna Pertua Kosinus boleh dan mesti digunakan. Bagi nilai a, b dan c, terpulang atas anda ingin meletakkan sisi yang mana. Tapi, perlu diingatkan, contohnya jika anda mengambil a = 7 cm, maka sudutnya pasti ∠CBA kan? Soalan inginkan sudut ∠BAC, maka nilai a mestilah 6 cm (garisan CB). 

Sekian sahaja. Ada soalan tanya. Hoho. Kenal pasti sama ada petua Sinus atau Kosinus yang perlu digunakan. Bezakan. Ingat syarat-syarat. Next, mencari luas bagi segitiga. 

Jangan .. Jangan ..

Jangan kau jangan ..
Berasa megah dengan ilmumu ..

Jangan kau jangan ..
Berasa bangga dengan kebijakanmu ..

Jangan kau jangan ..
Berasa ujub dengan kehebatanmu ..

Jangan kau jangan ..
Sesekali kau jangan ..




Pernahkah kau terfikir ..
Apakah ilmu itu milikmu?

Pernahkah terdetik di hatimu ..
Apakah kebijakan itu kepunyaanmu?

Pernahkah kau renung ..
Apakah hebatmu itu kamu kuasai?

Jangan kau jangan .. 

Jangan tanam jiwa yang rosak ..

Jangan kau jangan .. 

Jangan semai akhlak yang hodoh .. 

Agar suatu hari nanti .. 

Dapat kau tuai buah pekerti yang manis .. 

Supaya kamu .. 

Dapat merasai kelazatan tanamanmu .. 

p/s : Ilmu itu milik Allah Taala. Sekuat manapun kita cari, gali, korek ilmu, tetap ia milik Allah Taala. Justeru, jangan pernah kita berasa megah dengan ilmu kita yang cetek ini. Bila-bila masa Allah mampu tarik kembali ilmu yang telah dipinjamkan olehNya. Bayangkan dirimu tanpa ilmu. Bagaikan orang buta, tanpa tongkat, tanpa arah tuju, tanpa bimbingan. Mahukah kita? Bersyukurlah selalu. Say, Alhamdulillah. 

SPM Qs #2 : Quadratic Equations

Assalamualaikum .. 

   Haaa, aku datang sekali lagi. Datang dengan soalan SPM. Kali ini, saya ingin sentuh satu soalan di Kertas 2. Persamaan Kuadratik. Apakah persamaan kuadratik? Quadratic equation is an equation with the highest power degree is two (2). Kuasa tertinggi bagi uknown dalam persamaannya ialah dua (2). Oh yeah, dua laa. Kalau tiga? Kalau tiga tak jadi nama persamaan kuadratik dah la. Dah jadi nama Persamaan Kubik pula. 

Ok, SPM 2005 - 2012. Persamaan Kuadratik hanya pernah keluar sebanyak dua kali. Iaitu pertama kalinya pada tahun 2009, dan yang kedua pada tahun 2012. Soalannya hanya keluar di bahagian A. Mungkin LPM nak beri markah free kepada calon. Insya-Allah, soalannya tidaklah sesusah yang digambarkan. Indah khabar daripada rupa? Hahaha. 

SPM 2012 : 

Soalannya berbunyi [ada bunyi ker?]

Cuba selesaikan. Selepas selesai jawab, baru tengok cadangan jawapan. [Skema pemarkahan SPM adalah rahsia, and I'm not a pemeriksa. Haha] Make some references from here. 

Mudah bukan? Hanya perlu faham konsep punca. Nilai -b merupakan hasil tambah punca [SOR], dan nilai c merupakan hasil darab punca [POR]. Dan jangan lupa, semasa mengambil nilai SOR atau POR, pastikan bahagikan dengan nilai a. Wajib! Wajib! Wajib! Sememangnya wajib! Jika tidak, jawapan anda akan salah.

Ok, kita teruskan kepada jawapan bagi soalan b. 

Ingat! Nilai SOR mestilah berlawanan dengan b. Jika b positif, maka SOR negatif, dan begitulah sebaliknya. 

Nak lagi soalan? Soalan SPM 2009 lebih kurang sama sahaja. Cuma soalan a, soalan meminta calon supaya mencari julat bagi x.  

Soalan b lebih kurang sama, soalan a agak berbeza. Boleh anda selesaikannya? :) Apa salahnya mencuba. 

Bagi a(ii) : 

Jawapan bagi soalan b, sila jawab sendiri. Caranya sama sahaja dengan soalan SPM 2012. Buat latihan banyak-banyak, insya-Allah nanti SPM dapat jawab dengan mudah. Ameen. 

Jika ada kemusykilan, sila tanya. Malu bertanya sesat jalan. Huhu. 

Ambiguous Cases

Assalamualaikum .. 

     Sabtu, Ahad, Isnin, Selasa. Double what? Sudah empat hari tidak mengupdate blog. Almaklumlah, ahli korprat. Sibuk sikit. Business sedang membangun. Bisnes? Ah, lupakan. Auta semata-mata.

Dalam post terdahulu, kita telah membincangkan subtopik pertama bagi tajuk Solution of Triangles. Pastinya kita telah kenali Petua Sinus. Syarat tetap syarat ! Wajib patuhi syarat itu barulah kita boleh menggunakan Petua Sinus. Kalau tak penuhi? Pui ! Pergi jauh-jauh la. Haha. Macam nak kahwin la, kena cukup syarat baru dapat kahwin. Ish, apasal pula cakap tentang kahwin ni? Lupakan cepat. Haha.

Ok, saya akan perkenalkan apakah itu Kes Ambiguiti. Ui~! Pelik sungguh bunyinya. Tak apa, saya akan beritahu apakah intepretasi bagi Ambiguiti. Menurut Kamus Dewan Edisi Empat, ambiguiti bermaksud kesamaran atau ketidaktentuan yang memungkinkan dua atau lebih tafsiran. Ok! Sudah faham ya maksudnya? Masih samar? Haaa, begini maksudnya, bagi satu segitiga yang mempunyai kes yang agak istimewa, wujud satu lagi segitiga dalam segitiga yang special tersebut. Inilah dipanggil dua tafsiran. Segitiga ini perlu memenuhi syarat-syarat tertentu supaya memungkinkan satu lagi segitiga dilukis dalamnya.
Kes Ambiguiti melibatkan Petua Sinus sahaja. Bagi kes ini, syarat asasnya ialah mestilah dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi.

Diberi satu segitiga :

 Syarat - syarat :
1. Hanya sudut A (sudut hijau) dan sisi a(sisi merah) dan b(sisi jingga) diketahui nilainya.
2. Sudut A mestilah sudut tirus (< 90°)
3. Sisi a mestilah lebih pendek daripada sisi b.

Syarat-syarat di atas merupakan syarat am. Dapat saya simpulkan, Kes Ambiguiti akan berlaku apabila :
Sisi yang bertentangan (sisi a) dengan sudut tirus yang diberi (sudut A) adalah lebih pendek daripada sisi yang bersebelahan (sisi b dan c)dengan sudut tirus yang diberi.

Apabila syarat-syarat ini telah dipenuhi, satu lagi segitiga baru dapat dilukis dalam segitiga tersebut. Caranya adalah dengan menggerakan sisi a (merah) sehingga membentuk satu segitiga sama kaki.
Satu lagi cara ialah dengan melakar satu bulatan. Atas minat masing-masing. :)

Maka, segitiga baru yang dapat dilukis dalam segitiga yang special tersebut ialah :

Segitiga ABC1 merupakan segitiga lama, dan segitiga baru ialah ABC2. Segitiga BC1C2 merupakan segitiga sama kaki. Garisan hijau merupakan lengkok suatu bulatan.

Maka, segitiga tersebut boleh dipecahkan kepada dua, dalam kata lain, dua penyelesaian perlu dilakukan :

Biasanya, soalan akan menyuruh calon melukis satu lagi segitiga berdasarkan syarat-syarat yang telah disebut pada soalan.

Contoh soalan :

1. Bagaimana ingin selesaikan ∆PQR? - Petua Sinus perlu digunakan kerana dua sisi diberi dan satu sudut bukan kandung diberi.

2. Apabila dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi, perlu diteliti sama ada segitiga tersebut mengalami Kes Ambiguiti.

3. Lihat sudut [Wajib sudut tirus!]. Lihat sisi yang bertentangan dengan sudut iaitu QR. Panjang QR mestilah tidak melebihi panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut [QR < PQ].

4. Maka, dapat kita simpulkan bahawa Kes Ambiguiti berlaku. Oleh itu, ∆PQR perlu diselesaikan dengan selengkapnya.

Segitiga lain yang dapat dilukis ialah : 

Segitiga pertama [asal] : ∆PQR1

Segitiga baru : ∆PQR2

Ini bermakna, dua nilai yang mungkin wujud bagi R. Sama ada sudut tirus atau sudut cakah. 

Note : Sin bernilai positif di kuadran pertama dan kedua. [Sudut tirus dan sudut cakah]

*∠PR2Q = sudut cakah, ∠PR1Q = sudut tirus.

Berikut merupakan jalan penyelesaian bagi mencari nilai-nilai yang mungkin bagi sudut R [R1 dan R2]. Maka, nilai yang masih belum diperoleh ialah : ∠PQR1 , ∠R1QR2, R2, R1.

Note 1 : sin R = 0.75. Apabila -1 < sin θ < 1 [bernilai positif], maka nilai bagi θ akan bersudut tirus atau cakah. Ini kerana nilai sin positif apabila bersudut tirus atau cakah. Cuba tekan kalkulator,

sin 48.59 dan sin 131.41. Kedua-dua akan mendapat nilai yang sama. Sudut 131.41 dipanggil sudut tirus sepadan. Ah, lupakan. Nanti kita bahas benda ni dalam tajuk Trigonometric Functions. 

Sambung jalan pengiraan yang terhenti sebentar tadi :

Dengan ini, secara rasminya, kita telah selesaikan segitiga yang terlibat dengan Kes Ambiguiti. Tahniah kepada peguamnya! Ceh~ Ok, saya harap anda semua dapat faham. Saya tak pernah menjumpai soalan sebegini rupa dalam SPM. Mana la tahu, tiba-tiba keluar. Hoho. Tapi, biasanya, soalan yang berkaitan dengan Kes Ambiguiti merupakan pecahan soalan yang terakhir. Insya-Allah, mudah! Asalkan anda lukis segitiga baru anda dengan betul. 

Nanti saya akan tunjuk contoh soalan SPM mengenai tajuk ini. Tunggu selepas tajuk Petua Kosinus atau Cosine Law sudah dikupas-kupas dan dicincang sampai lumat. 

Akhir sekali, saya ingin nasihatkan, cuba-cubakan diri anda untuk menjawab soalan ini. Soalan ini biasanya tidak 'menipu' calon. Haha. Tapi, haritu saya tertipu dek kesalahan sendiri. Rasa macam nak ketawa kuat-kuat dalam dewan. Ada ke patut nilai sudut bernilai negatif. Ish ish ish. 

Jika ada soalan, sila tanya. Kalau gunakan soalan daripada buku teks, lagi baik :). Sementara saya masih ada buku teks.  

Jiwa .. Hati .. Sucikah?

Google より

Nak didik jiwa, bukan perkara mudah .. 

Nak jaga hati, tak begitu senang .. 

Walaupun susah, waimapun payah ..

Tetap ada caranya .. 

Kembali kepada fitrah .. 

Hati itu suci sifatnya .. 

Lahir dengan seputih warna .. 

Fitrah manusia itu mendekati Allah Taala ..

Taat Allah, Taat RasulNya .. 

Saat jatuh terduduk, 

Ingatlah .. 

Allah sentiasa ada .. 

Saat kita mampu berdiri atas dua kaki kita,

Ingatlah ..

Allah sememangnya ada .. 

Tapi, kita ... 

Adakah kita ini tidak bersyukur? 

Saat susah, kita minta pertolongan dengan Allah ..

Saat senang, mana tanda kesyukuran kita? 

Allah,, Allah .. 

Sesungguhnya, kita sering alpa dan lalai ..

Terlalu asyik mengejar kemewahan dunia ..

Terlalu tamak menggapai dunia yang fana .. 

Terlalu haloba mengaut kesenangan dunia .. 

Lalu,

Inikah cara kita didik jiwa kita? 

Didik dengan kemewahan?

Didik dengan kesenangan? 

Lantas, 

Bagaimana jiwa kita, hati kita ingin bersih,

Jika kita mentarbiah jiwa kita dengan sebegitu rupa? 

Allah, Allah .. 

Ampunilah dosa-dosa kami .. 

Berkatilah segala usaha kami .. 

Tunjukkanlah jalan yang benar kepada kami .. 

Jangan Engkau menyesatkan kami .. 

[Alhamdulillah]

Solution of Triangles

Assalamualaikum .. 

Tajuk dalam bahasa Inggeris, tapi saya tak nak hurai dalam bahasa Inggeris. I'm weak in English. Haha. 

Solution of Triangles atau Penyelesaian Segitiga merupakan bab kesepuluh bagi subjek Matematik Tambahan Tingkatan 4. Tajuk ini merupakan pakej daripada Sains Teknologi. 

Tajuk ini tidak pernah keluar dalam kertas 1, tapi WAJIB keluar dalam kertas 2 : Bahagian C. Dan, bagi saya sendiri, saya mewajibkan diri saya untuk memilih soalan ini. Mengapa???? Jawapannya ialah soalan tajuk ini agak mudah jika dibandingkan dengan yang lain. Hanya tahu dan gunakan rumus yang betul, insya-Allah jawapan anda betul. 

Ada satu subtopik yang tidak pernah keluar dalam SPM 2005 - 2012. Subtopik itu berkisarkan segitiga dalam 3-matra atau 3D. Dikenali sebagai Three-Dimensional Geometry. Tapi tak apa, saya juga cuba untuk kupas juga, walaupun saya juga agak tidak mahir. Haha. SBP pernah keluar subtopik ni. Kalau tak silap, tahun 2006. 

Terdapat dua 'undang-undang', bukan undang-undang tapi petua. Ada dua petua yang diperkenalkan dalam tajuk ini, iaitu Petua Sinus dan Petua Kosinus - Sine Law and Cosine Law. Jadi, saya akan kupaskan Petua Sinus dahulu. 

Membuktikan Petua Sinus - Prooving the Sine Law

Bilakah Petua Sinus digunakan? 

1. Jika satu sisi dan dua sudut diberi.

2. Jika dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi. 

Contoh 1 : Jika satu sisi dan dua sudut diberi

Sisi merah ialah sisi yang diberi nilai. Pastikan sudut berlawanan dengan sisi yang diberi. 

Contoh 2 : Jika dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi

Nampak perbezaannya? Jika nampak, bagus! Jika tak nampak, sila nampakkan! Haha. Apakah itu sudut kandung? Haaa, kandung tu macam mana? 

Kalau kandung, mesti dia berada di dalam kan? Sudut kandung ialah sudut yang berada di antara dua sisi yang diketahui panjangnya. 

Contoh : Sudut Kandung

Sisi merah ialah sisi yang diketahui nilainya. Maka, sudut yang berwarna hijau kita panggil sudut kandung kerana dia dikandung oleh dua sisi. 

Kalau sudut berwarna ungu pula dipanggil sudut bukan kandung, kerana hanya satu sisi sahaja diketahui nilainya. Nampak tak beza dia?

Ok, jom teruskan kepada contoh. Panjang lebar penerangan. Penuh dengan gambar. Haha. 

Rajah menunjukkan segitiga PQR. Cari panjang RQ.

1. Kena tahu, petua apa yang perlu digunakan. Bagaimana? Rujuk sudut dan sisi. 

Terdapat dua sudut dan satu sisi diberikan. Maka, petua sinus digunakan. 

2. Pastikan sudut bertentangan dengan sisi 30° = 6 cm. 110° = RQ. Mudah bukan?

3. Gunakan rumus. 

Ok, mudah bukan? Sisi berlawanan dengan sudut. Jom pergi ke contoh seterusnya. 

Rajah menunjukkan segitiga ABC. Cari ∠ABC.

1. Perhatikan sudut dan sisi yang diberi. Ada dua sisi dan satu sudut. Sudut itu pula sudut bukan kandung. 

2. Maka, kita perlu gunakan Petua Sinus. Ingat! Ambil yang bertentangan. 

Petua Sinus boleh disongsangkan apabila soalan menyuruh kita untuk mencari sudut. Ia akan menjadi lebih mudah kerana tidak perlu memindah banyak kali. Lebih ringkas dan cepat. Kalau mencari sisi, tak payah nak songsang. Buat sakit jiwa sahaja. Hahaha. 

Rajah menunjukkan segitiga PQR. Cari ∠RPQ dengan keadaannya bersudut cakah.

1. Perhatikan sudut dan sisi yang diberi. Dua sisi dan satu sudut bukan kandung. Oh! Maknanya, Petua Sinus perlu digunakan. 

2. Soalan mengatakan bahawa sudut P ialah sudut cakah (>90°). Maka, jika jawapan yang diperoleh lebih kecil daripada 90°, jawapan anda perlu ditolak dengan 180°. 

3. Jom selesaikannya!

Petua Sinus disongsangkan kerana kita ingin mencari sudut. Ok, jika jawapan yang diperoleh ialah sudut tirus (<90°), maka jawapan perlu ditolak. Ini hanya jika soalan memberitahu bahawa sudut tersebut ialah cakah. Jika soalan tidak memberitahu apa-apa, maka kekalkan jawapan anda. 

Ok, Kes Ambiguiti saya akan sambung ke post yang akan datang. Jika ada soalan, sila tanya :) 

Waallahu a'alam....