Saturday 22 December 2012

Bab 1 : Janjang

Assalamualaikum .. 


  Janjang atau dikenali sebagai Progressions dalam bahasa Inggeris, merupakan satu jujukan nombor yang memenuhi syarat tertentu. Terdapat dua jenis janjang yang akan kita pelajari : 
1. Janjang Aritmetik - Arithmetic Progressions (AP)
2. Janjang Geometri - Geometric Progressions (GP)

AP merupakan suatu jujukan nombor yang mempunyai beza yang sepunya (common difference). 
Sebagai contoh : 1, 3, 5, 7, ... merupakan satu jujukan nombor dengan beza sepunya 2. 

GP pula ialah satu jujukan nombor yang mempunyai nisbah yang sepunya (common ratio). 
Contoh : 4, 16, 64, 256, ... merupakan satu jujukan nombor dengan nisbah sepunya 4. 

Jom kita teruskan kepada Janjang Aritmetik. 

Terdapat dua keadaan bagi Janjang Aritmetik :
1. Jika beza sepunya positif, sebutan akan berterusan hingga ketakterhinggan yang positif
2. Jika beza sepunya negatif, sebutan akan berterusan hingga ketakterhinggan yang negatif. 
Contoh : Jika beza sepunya negatif .. 
Biarkan beza sepunya -3. Mulakan dengan nombor 1. 
= 1, -2 , -5, -8, ... 
Nampak tak? Sebutan bagi janjang ini menjadi semakin negatif. 
Sebutan bagi janjang aritmetik diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya dengan beza sepunya. 
= 1 + (-3) = -2 + (-3) = -5 ... 
Jadi, untuk mencari beza sepunya, terbalikkan proses penambahan menjadi proses penolakan. 
Sebutan yang diperoleh ialah, 
= 1, -2, -5, ... 
Maka, beza sepunya = -2 - 1 = -5 - (-2) = -3 

Rumus asasnya ialah, dengan d sebagai beza sepunya. 


 Ini hanya rumus, cara paling mudah ialah hanya ambil sebutan kedua tolak sebutan pertama. Jika ambil sebutan ketiga, maka tolak sebutan kedua. Ambil yang depan tolak yang belakang, dengan syarat, dua sebutan itu mestilah berjujukan. 
Contoh : 

Tentukan sama ada sebutan berikut merupakan janjang aritmetik. 
a) -10, -6, -2, ...
b) 4q, 5q, 7q, 10q, ... 

Penyelesaian : 
a) Ambil sebutan yang depan tolak belakang. 
-6 - (-10) = 4
-2 - (-6) = 4 
Kedua-duanya mendapat nilai yang sama, maka -10, -6, -2, ... merupakan janjang aritmetik. 

b) Depan tolak belakang. 
5q - 4q = q
7q - 5q = 2q
10q - 7q = 3q 
Nilai yang diperoleh tidak sama, maka 4q, 5q, 7q, ... bukan satu janjang aritmetik. 

Ok, begitu mudah bukan? Jom teruskan kepada subtopik seterusnya. 

Sebutan ke-n dalam satu Janjang Aritmetik. 


Ok, untuk mencari sebutan ke-n, 2 perkara penting yang perlu kita ada, iaitu a dan d. a ialah sebutan pertama bagi satu-satu janjang. Terus kepada contoh. 

Diberi, 3 sebutan pertama dalam satu janjang ialah 2, 10, 18, ... Cari sebutan ke-19 

Penyelesaian : 

Kaedah Pertama : Menggunakan rumus (Lebih cepat dan lebih cool, haha) 
Dalam kes ini, n = 19. Perlu dicari dahulu a dan d. a = sebutan pertama, a = 2. 
d = beza sepunya. d = T3 - T2 = T2 - T1
d = 18 - 10 = 10 - 2 
d = 8 
Ok, maklumat sudah diperoleh. Jom cari sebutan ke-19! 
a = 2, d = 8, n = 19. 
T19 = 2 + (19 - 1)(8)
       = 2 +144
       = 146 

Kaedah Kedua : Kaedah Manual (Sememangnya lambat) 
Kaedah ini lebih sesuai untuk penyemakan. Apa yang perlu ialah d. d = 8.
Maka, campurkan satu persatu sehingga anda memperoleh sebutan ke-19. 
2 + 8 = 10 + 8 = 18 + 8 = 26 + 8 = 34 + 8 = 42 + 8 = 50 + 8 = 58 + 8 = 66 + 8 = 74 + 8 = 82 + 8 = 90 + 8 = 98 + 8 = 106 + 8 = 114 + 8 = 122 + 8 = 130 + 8 = 138 + 8 = 146. 
Agak lambat bukan? Jadi, sila gunakan rumus yang telah dicipta. Jangan risau! Rumus disediakan dalam exam

Saya akan tunjukkan soalan yang kerap ditanya dalam exam

SPM 2007 : Kertas 1 : Soalan 10 
Tiga sebutan berturut-turut bagi suatu janjang aritmetik ialah 5 - x, 8, 2x
Cari beza sepunya janjang itu. 

Penyelesaian : 
Masih ingat lagi rumus mencari beza sepunya? Depan tolak belakang. 
8 - (5 - x) = 2x - 8    .... Pastikan letak kurungan untuk mengelakkan kesilapan
  8 - 5 + x = 2x - 8 
        3 + x = 2x - 8 
             -x = -11
               x = 11
Masih bukan jawapannya lagi. Anda perlu menggantikan nilai x untuk mendapatkan sebutan sebutan bagi janjang tersebut. 
5 - (11), 8, 2(11) = -6 , 8, 22 
Ok, ini sebutan yang sebenar. Hanya ambil yang depan tolak belakang. Salah satu sahaja. 
22 - 8 = 14
8 - (-6) = 14
d = 14 

Hasil Tambah bagi sebutan n pertama Janjang Aritmetik

Ingin tahu bagaiman formula ini diperoleh? Boleh cek di Wikipedia. Saya suka 'tanya' Uncle Wikipedia. Taip sahaja di ruangan kosong pada Pak Cik Google, insya-Allah, jumpa. Hehe. 

Ini merupakan kaedah penggunaan rumus. Jika anda terlebih rajin, maka kaedah manual juga boleh digunakan. 

1. Cari dahulu 10 sebutan pertama. Tambahkan sahajas setiap persamaan dengan 5. 
Sebutan yang akan diperoleh ialah : 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48. 
Hasil tambah 10 sebutan pertama = 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48 
                                                   = 255
Dan jika anda tidak reti menggunakan rumus, sila gunakan kaedah manual. Juga diterima dalam skema pemarkahan. Cuma agak melambatkan masa. 

Jika sebutan terakhir diberi, maka rumusnya ialah : 


Contoh : 

Janjang aritmetik 78, 73, 68, ..., -42 mempunyai 25 sebutan. Cari hasil tambah 25 sebutan tersebut.
Penyelesaian : 
1. Hanya cari nilai a dan l
a = 78, l = -42, n = 25

S25 = 25/2 (78 - 42) 
       = 25/2 (36)
       = 450 

Bagi kaedah ini, jangan guna kaedah manual. Betul-betul membazirkan masa. 25 sebutan? Perghh! Banyak tuu. 

Itu sahaja untuk bab Janjang Aritmetik. Jika ada soalan, sila tanya. Tajuk ini merupakan bab pertama Tingkatan 5. Selepas ini, Janjang Geometri. 



42 comments:

  1. penerangan sgt detail .. akan jadi menarik apabila ia d tambah dgn bahan graphic.. tq :)

    ReplyDelete
  2. sangat memudahkan, kalau boleh banyakkan contoh. terima kasih.

    ReplyDelete
  3. langsung ak nda paham . nda paya la ko buat bgini , buang masa !!!! NOOBB

    ReplyDelete
    Replies
    1. Uh dear... Sya faham ja... Jd dia bgantung sbnrnya...

      Delete
    2. Otak hang bongok na bende senang kata paham

      Delete
    3. Ahahaha ko ngaji apa langsung sampai x paham

      Delete
    4. Peqabih beqas ja

      Delete
  4. terima kasih..saya faham sangat..selalu tengok :)

    ReplyDelete
  5. hurmmm yang awal2 tu phm lah :3 tai yang bwh tu argh hahah maybe sbb x bljr lagi hehehe btw thnks

    ReplyDelete
  6. Klu cari bil. Gandaan 6 antara 50 hingga 250 cam ne lak?

    ReplyDelete
  7. Sgt simple and sng masukk..thanks to admin..thumbs up��

    ReplyDelete
  8. Sgt simple and sng masukk..thanks to admin..thumbs up��

    ReplyDelete
  9. contoh kalau dia suh cari x dlm arimetrik tu cmne ye seperti 2x+1,4x,5x+1 adalah sebutan pertama.cari nilai x

    ReplyDelete
  10. Asyraf Shahran : kalau soalan macam tu kena guna formula

    F2-F1 = F3-F2

    ReplyDelete
    Replies
    1. Lepastu camne lak kalau die mintak sebutan ke 13

      Delete
  11. apa obkektif jangjang aritmetik dan geometrik ? boleh email ke nuramirahsyazan@gmail.com

    ReplyDelete
  12. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  13. Terima kasih atas bantuan dañ penerangan di atas
    i) Bagaimana nak Cari nilai d jika tidak ditunjukkan janjangan, hanya ada hasil tambah sebutan pertama until Cari hasil tàmbah sebutan ke 6 hingga ke 18
    ii) Penerangan Janjangan Geometri?

    ReplyDelete
  14. Penerangan yg jelas dan mudah faham. T.kasih byk

    ReplyDelete
  15. Macammna kalau soalan tu tak bagi sebutan pertama? Dia bagi sebutan terakhir dan d

    ReplyDelete
    Replies
    1. Gna rumus Tn=sbutan trakhir
      a+(n-1)d=sbutn trakhir
      Pstu msukkn mna" nilai yg dbri

      Delete
    2. Hi. Macam mana tu ye? Saya ada masalah pada soalan seperti itu. Boleh terangkan dengan lebih lanjut?

      Delete
  16. Satu inisiatif yang baik untuk diteruskan ke bab-bab yang lain. Sedekah jariah juga ni!

    ReplyDelete
  17. Cari bilangan gandaan 6 antara 50 dengan 250?????
    Ada rumus??

    ReplyDelete
    Replies
    1. Senaraikan dlu gandaan 6 yg mula dri 50 smpai 250. Cnth'y:
      54,60,66,...,246. So a=54 & d=6
      Gnakan rumus Tn=246
      Tn=246
      a+(n-1)d=246
      54+(n-1)6=246
      54+6n-6=246
      6n=246-54+6
      n=198 bhagi 6
      n=33

      Delete
    2. n tu darab dgn 6 and -1 pun darab ngan 6 so jwpn diye 6n-6

      Delete
  18. macam mane nak jawab soalan janjang aritmetik seperti 2k-3,4k+1,5K+6 CARI NILAI K

    ReplyDelete
    Replies
    1. Gna cra cri beza sepunya
      (4k+1)-2k-3=(5k+6)-4k+1
      Pstu buka kurungan jk.. So
      2k-2=k+7
      2k-k=7+2
      k=9
      Tpi ndk psti klw jwpn tu btul tpi cra mw cri nilai p tu ikut cra ni lh


      Delete
  19. mcm mn mau jwb soalan nii tiga sebutan pertama bgi janjang aritmetik ialah 3,8,13....lpstuu soalan nya cari hasil tmbh 12 sebutan y seterusnya selepas sebutan ke 8

    ReplyDelete
  20. mcm mn mau jwb soalan nii tiga sebutan pertama bgi janjang aritmetik ialah 3,8,13....lpstuu soalan nya cari hasil tmbh 12 sebutan y seterusnya selepas sebutan ke 8

    ReplyDelete
  21. P+9,2p+10,7p-1. Nilai bagi p ???

    ReplyDelete
    Replies
    1. Gna cra cri beza sepunya
      (2p+10)-p+9=(7p-1)-2p+10
      Pstu buka kurungan jk.. So
      p+19=5p-11
      19+11=5p-p
      30=4p
      7.5=p
      Tpi ndk psti klw jwpn tu btul tpi cra mw cri nilai p tu ikut cra ni lh

      Delete
  22. Boleh la... Penerangan sangat detail and formula yg disediakan senang nak cari, penyusunan ayat dgn rumus pun kemas

    ReplyDelete
  23. @Anonymous

    Terima kasih. Akan diperbaik dari semasa ke semasa.

    ReplyDelete
    Replies
    1. This comment has been removed by the author.

      Delete
  24. Diberi suatu janjang JA -15,-11,-7,...nyatakan tiga sebutan pertama dalam janjang ini di maa jumlahnya adalah 108?Macam mana nak buat ye????

    ReplyDelete
  25. Mcm mn kita nak bezakan sama ada kena gunakan formula janjang aritmetik atau Janjang geometri sedangkan dia x bg pun sequence tu dia cuma ckp Siti menabung 80 pada bulan pertama beza tabungan Siti pada bulan kedua adalah 5peratus lebih dari bulan kedua cari n jika bulan yg terakhir ditabung adalah 280? Mcm mn nak buat soalan ni

    ReplyDelete

Ada pertanyaan? Ada simbol-simbol tertentu yang diperlukan? Jangan risau, cuba lihat di bahagian 'gadget' simbol yang telah saya sediakan.

Saya akan jawab soalan anda selagi boleh :)

Fungsi Gubahan - Mencari Salah Satu Fungsi dalam Fungsi Gubahan

Assalamualaikum.  Topik ini saya dah pernah muat naik 11 tahun yang lalu. Ketika itu, saya masih muda remaja. Belum masuk universiti. Jadi, ...