Fungsi Gubahan - Composite Functions

Assalamualaikum .. 

Jam menunjukkan 9.15 pm. Tarikh hari ini, 13 Disember 2012. Oh! Tentera Malaysia sedang bertarung di Thailand rupanya. Semoga tentera Malaysia mendapat kemenangan. 

Satu soalan ingin saya tanya, bola terus digelecek di atas padang. Pada pendapat anda, apakah hubungan bola itu? Haha. Terdapat 11 pemain bagi satu pihak, kita ambil pahlawan-pahlawan Malaysia kerana kita penduduk Malaysia. Bahagikan 11 kepada 2 kumpulan, mungkin 6 orang - 5 orang. 6 orang bagi set A dan 5 orang bagi set B. Bola itu terus digelecek dan digelecek. Ah, pada pandangan saya, mungkin hubungannya ialah banyak kepada banyak. Adakah ini suatu fungsi? Fikir-fikirkan. 

Berbalik kepada tajuk asal. Subtopik seterusnya ialah Fungsi Gubahan atau Composite Functions. Fungsi gubahan merupakan fungsi yang bergabung. Andaikata, terdapat dua fungsi iaitu fungsi f dan fungsi g, fungsi f memetakan set A kepada set B, dan fungsi g telah memetakan set B kepada set C. Nampaknya, kedua-dua fungsi telah bergabung, daripada f kepada g, maka fungsi ini boleh ditulis fg(x). 

Perlu ingat bahawa fg(x) ≠ gf(x). Jika fg(x), maka g(x) merupakan objek bagi bagi f dan begitulah sebaliknya. Bagaimana pula jika ff(x), f^2(x)? Ini bermakna f(x) merupakan fungsi kepada f. Jom kita terus kepada contoh. 

Diberi f(x) = 2x - 1 dan g(x) = 3x + 2. Cari

a) fg(x)

b) gf(x)

c) Nilai x jika fg(x) = 15

Penyelesaian : 

a) fg(x) = f[g(x)]  ..... Pisahkan f daripada g. g(x) bertindak sebagai nilai objek kepada fungsi f.

            = f(3x + 2) .... Gantikan fungsi g. 

            = 2(3x + 2) - 1 .... 3x + 2 merupakan nilai objek bagi fungsi f. Gantikannya. 

            = 6x + 4 - 1  ...  Kembangkan

            = 6x + 3

b) gf(x) = g[f(x)] ... Pisahkan g daripada f. f(x) bertindak sebagai nilai objek kepada g.

            = g(2x - 1) ... Gantikan fungsi f.

            = 3(2x - 1) + 2 ... 2x - 1 merupakan nilai objek. 

            = 6x - 3 + 2 ... Kembangkan

            = 6x - 1

c)    fg(x) = 15

    6x + 3 = 15   ...  Gantikan fg(x) yang telah diperoleh

          6x = 12

            x = 2

Oh! Mudah bukan. Sama sahaja seperti pelajaran sebelum ini. Gantikan nilai. Mula-mula, pisahkan dahulu. Ini bertujuan supaya kita tahu fungsi yang mana bertindak sebagai objek. Jika nilai x diberi? Yeah, sama sahaja. Hanya gantikan dan pastikan tanda operasi tidak ada yang tersalah. 

Cari nilai bagi gf(2).

gf(x) = 6x - 1

gf(2) = 6(2) - 1

        = 12 - 1

        = 11

Beres! Saya anggap anda semua faham. Jom kita teruskan. Tapi sebelum itu, jam sekarang 9.38 pm. Thailand telah mendahului 2 - 0. Agak tidak adil pengadil malam ini. Saya agak geram. 

Tinggalkan, dan mari teruskan. Haha. 

Mencari fungsi berdasarkan fungsi gubahan yang diberi. 

Kes 1 : Mencari fungsi yang mana fungsi yang berada 'di dalam' atau pada akhir fungsi.

Diberi f(x) = x + 2 dan fungsi gubahan fg(x) = 3x - 2. Cari g(x) 

    fg(x)   = 3x - 2      ... Tulis dahulu fungsi gubahan

   f[g(x)] = 3x - 2      ...  Pisahkan f daripada g. 

g(x) + 2 = 3x - 2    ...  Gantikan fungsi f. Fungsi f(x) = x + 2. Gantikan g(x) ke dalam x. 

       g(x) = 3x - 4    

Kes 2 : Mencari fungsi yang mana fungsi berada 'di luar' atau pada awal fungsi. 

Bagi Kes 2, fungsi 'di dalam' perlu digantikan dengan mana-mana algebra. Adakah terdapat cara lain? Sila kongsi kerana saya hanya menggunakan cara ini. :)
Jika y berada dalam kurungan, maka fungsi dalam sebutan y. Jika dalam kurungan ialah x, maka fungsi dalam sebutan x dan begitulah sebaliknya. 

Sekian sahaja tajuk Fungsi Gubahan. Semoga anda semua faham. Bagi Malaysia, jangan bersedih atas kekalahan kerana kita kalah disebabkan ***. Hihi. Isu sensitif. Tidak boleh dibicarakan.